Er moet eerst een aantal malen gedifferentieerd worden. Om dat proces zo simpel mogelijk te maken stel ik: De afgeleiden hiervan zijn: Daarmee kan ik de functie schrijven als: Nou, daar gaan we dan. Ik ga tien afgeleiden bepalen: Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0. Daarvoor dien ik te bedenken dat: Uit het laatste volgt dat alle termen waar sinussen in voorkomen nul worden. Dat brengt ons bij dit resultaat: De polynoom-coëfficiënten worden dan: Het is even puzzelen (best wel heel veel puzzelen eigenlijk), maar de regelmaat hierin is: Het dubbele faculteit-uitroepteken betekent dat alleen de oneven of even termen met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:

De “2k boven i” respectievelijk “2k boven j” zijn de binomiaalcoëfficiënten van het binomium van Newton:

De teller van de binomiaalcoëfficiënten kunnen we uitdelen en we moeten ook nog even bedenken dat: Hetgeen ons brengt bij deze reeks: Ik ga die dubbele faculteit omschrijven naar een enkele faculteit: Een terechte vraag zou zijn of er niet ergens in de afgeleiden die ik hiervoor bepaald heb ergens een foutje geslopen zou kunnen zijn (of ergens anders in). Om dat te voorkomen heb ik Excel ingezet als controlemiddel. Mijn Excel-file bevat alle afgeleiden (en nog een paar meer) en tevens de Taylor-reeks. Hierboven zie je de grafiek volgens de Taylor-reeks waarbij ik tien termen heb meegenomen. Vanaf x = π/2 wordt het een zooitje. In de grafiek hieronder heb ik ingezoomd op het traject van x = 0 tot x = π/2, wederom met tien termen. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één en/of x nadert naar π/2 meer termen meegenomen worden. Er is ook nog een hele andere aanpak mogelijk om deze functie in een reeks te ontwikkelen die in bepaalde gevallen voordeel biedt. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we: Vervolgens vervang ik simpelweg x door a² sin² x: Om te voorkomen dat je tegen de grenzen van je rekenprogramma aanloopt is het wel handig om niet iedere term opnieuw te berekenen, maar ten opzichte van de voorgaande term: Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard): Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit: Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel a² sin² x < 1. De sinus strekt zich per definitie uit van −1 tot +1, dus we moeten een beperking opleggen aan de waarde van a. Sowieso zal a nimmer groter dan één zijn, want dan gaat het worteltrekken de mist in. Indien a = 1 dan krijgt de functie een hele andere vorm, dus die situatie zal ook niet voorkomen. De convergentievoorwaarde dat | a | < 1 is daarom inherent aanwezig. Het is wel zo dat naarmate a naar één nadert er steeds meer termen meegenomen moeten worden, een punt van aandacht. Hierboven zie je de grafiek volgens de Taylor-reeks waarbij ik tien termen heb meegenomen. Deze reeks werkt heel goed over het gehele bereik van x. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één meer termen meegenomen worden. In de grafieken hieronder heb ik het aantal termen uitgebreid tot respectievelijk twintig, vijftig en honderd.