Vectoren, vraagstuk 93

Gegeven de functie:
Deze functie is gedefinieerd op de kwart cirkelschijf:
Het oppervlak S is de grafiek van f. Tenslotte definiëren we het vectorveld v:
  1. Maak een parametrisering van S.
  2. Bereken de oppervlakte van S.
  3. Bereken de flux-integraal:
    De oriëntatie van S is naar boven gericht.

De grafiek van f (x, y) = xy (het oppervlak S)

Het vectorveld v
  1. Maak een parametrisering van S.

    Als parametrisering kan ik opschrijven:
    Maar anticiperend op wat komen gaat (het ‘grondoppervlak’ is een kwart cirkelschijf) is het verstandig om over te gaan naar cilindercoördinaten:


    De parametrisering wordt dan:
  2. Bereken de oppervlakte van S.

    Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee raakvectoren aan het oppervlak S:

    Via het uitwendig product van deze twee raakvectoren bepaal ik de vector dA:
    Vervolgens bepaal ik de norm (= grootte) van dA:
    De oppervlakte van S wordt dan:
  3. Bereken de flux-integraal:
    De oriëntatie van S is naar boven gericht.

    De vector dA hebben we al:
    De z-component is r en is dus altijd positief, dus dA is naar boven gericht. Uit de parametrisering van S kunnen we x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld v schrijven als:
    Dan wordt het inwendig product vdA:
    Ik integreer eerst naar θ want dan ben ik gelijk die sinussen en cosinussen kwijt. De integraal wordt dan:
    De oplossing van de integraal van x eax kun je vinden in de tabel met integralen.