De integraal van
f (x) = 1/(a + b cos x + c sin x + d cos2 x + e sin2 x)3/2
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(a + b cos x + c sin x + d cos2 x + e sin2 x)3/2
De grafiek van f (x) = 1/(a + b cos x + c sin x + d cos
2 x + e sin
2 x)
3/2
voor a = b = c = d = e = 0.2 (de rode lijn),
a = b = c = d = e = 0.5 (de groene lijn) en a = b = c = d = e = 0.8 (de blauwe lijn)
Het oplossen van deze
integraal
brengt heel wat transformaties met zich mee en het oplossen van talrijke vergelijkingen,
maar daar zullen we toch doorheen moeten.
Voorlopig richt ik mij alleen op de te
integreren
functie, het feitelijke
integreren
komt later:
Om te beginnen ga ik de functie even reorganiseren.
Daarvoor gebruik ik deze formule uit de
goniometrie:
Hiermee kan ik de functie schrijven als:
Dit resultaat ga ik nog wat verder verbouwen:
Ik stel:
Zodat de functie deze overzichtelijker vorm krijgt:
Het was Gauss (jawel, alweer Gauss) die in 1818 met de geweldige inval kwam om op een zeer ingenieuze wijze
over te gaan naar een andere variabele.
- Geïnteresseerd in het oorspronkelijke artikel?
Stuur mij dan een email (karel@voorbijeinstein.nl)
met als onderwerp “PDF bestand 011200000237” en ik stuur je de file (gratis) toe.
Opmerking: ik kan inderdaad ook zorgen dat je het artikel rechtstreeks van mijn website kunt downloaden,
maar dan schend ik auteursrechten.
De transformatie ziet er als volgt uit (in matrixnotatie):
Of heel compact opgeschreven:
Hierin is Λ de
transformatiematrix:
En voor de
vectoren
t en
x geldt:
Of volledig uitgeschreven:
Uit de vergelijkingen (8) volgt dat voor cos x respectievelijk sin x geldt:
Het deel tussen haken van de noemer van de functie noem ik voor het gemak Q:
Met behulp van de vergelijkingen (9) kan ik voor Q schrijven:
Om redenen die later duidelijk worden ga ik Q vermenigvuldigen met het
kwadraat
van P:
Vervolgens ga ik de haken wegwerken en wat termen samennemen:
Middels de
matrix
Λ heb ik negen variabelen geïntroduceerd.
Aan die variabelen ga ik wat eisen stellen, ik wil namelijk dat in bovenstaande vergelijking de coëfficiënten
van cos t, sin t en het product cos t sin t altijd nul zijn:
Daarmee versimpelt (13) tot:
Ik roep nog wat extra variabelen in het leven:
Waardoor vergelijking (15) deze overzichtelijke vorm aanneemt:
Wat kunnen we verder zeggen over de variabelen α, β en γ?
Dat gaan we nu uitzoeken.
Uit de
goniometrie
weten we dat altijd moet gelden:
Uitgaande van (18a) en met behulp van de vergelijkingen (9) krijg ik:
Vervolgens ga ik weer haken wegwerken en termen samennemen:
En dit moet dan overeenkomen met (18b), waaruit volgt:
Of in matrixnotatie:
Vervolgens doe ik nu eerst deze drie tussendoortjes waarbij ik gebruik maak van de vergelijkingen (21):
Als ik dan nu verder werk vanuit vergelijking (18b) en gebruik maak van de vergelijkingen (23) dan krijg ik:
Dan komt nu weer de leuke klus van het haken wegwerken:
En dit moet dan weer overeenkomen met (18a), waaruit volgt:
Of in matrixnotatie:
De
determinant
van Λ is:
Ik ga ook de
determinant
opschrijven van de
matrix
uit vergelijking (27) die naast Λ staat (die noem ik M):
En ik schrijf de
determinant
op van de
matrix
uit vergelijking (27) die in het rechterlid staat (die noem ik N):
Door vergelijking (27) uit te schrijven in
determinanten
krijg ik dus:
Ik kies uiteraard voor het gemak D = +1.
Vervolgens bereken ik achtereenvolgens de producten van D met α
1, α
2, α
3,
β
1, β
2, β
3, γ
1, γ
2 en γ
3:
Nu maak ik gebruik van de vergelijkingen (21):
En omdat D = 1 worden de vergelijkingen (31):
Zijn we dan nu eindelijk klaar met al dit gegoochel met variabelen?
Nee, nog lang niet, blijf kijken en huiveren!
De vergelijkingen (8) beschrijven x als functie van t:
Door te stellen dat:
Dan kan ik de vergelijkingen (8) ook zo schrijven:
Hier staat x als functie van t, maar nu wil ik ook nog het omgekeerde weten, dus t als functie van x.
Daarvoor deel ik bovenstaande vergelijkingen door α
3, respectievelijk β
3
en γ
3:
Vervolgens trek ik vergelijking (35b) van (35a) af en ik trek ook (35c) van (35a) af:
En zo zijn we t
3 kwijtgeraakt.
Deze procedure gaan we nog een keer doorlopen, nu ga ik t
2 eruit werken:
En vervolgens trek ik (37b) van (37a) af en ik ga een partij knutselen:
Nu ga ik gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32):
Nu hebben we een uitdrukking voor t
1.
Vanuit de vergelijkingen (36) kan ik natuurlijk ook t
1 eruit werken om tot een uitdrukking voor
t
2 te komen:
En vervolgens trek ik (40b) van (40a) af en ik ga weer een partij knutselen:
Nu ga ik weer gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32) om tot een uitdrukking voor t
2 te komen:
Tenslotte heb ik nog een uitdrukking nodig voor t
3 als functie van x.
Daarvoor deel ik de vergelijkingen (34) door α
1, respectievelijk β
1
en γ
1:
Vervolgens trek ik vergelijking (43b) van (43a) af en ik trek ook (43c) van (43a) af:
En zo zijn we t
1 kwijtgeraakt.
Deze procedure gaan we nog een keer doorlopen, nu ga ik t
2 eruit werken:
En vervolgens trek ik (45b) van (45a) af en ik ga weer een partij knutselen:
Nu ga ik weer gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32) om tot een uitdrukking voor t
3 te komen:
Middels de vergelijkingen (39), (42) en (47) hebben we uitdrukkingen gevonden voor t als functie van x:
Dit ziet er in matrixnotatie zo uit:
Nu gaan dingen (eindelijk) op hun plaats vallen.
Ik ga nogmaals het product P
2Q uitrekenen, maar nu met behulp van de vergelijkingen (33):
En door vanuit vergelijking (17) verder te werken krijg ik, wederom met hulp van de vergelijkingen (33):
De vergelijkingen (49) en (50) kan ik dus aan elkaar gelijk stellen:
Nu ga ik de waarden van t
1, t
2 en t
3 invullen zoals ik die verkregen heb uit
de vergelijkingen (39), (42) en (47):
Door de termen links en rechts te vergelijken volgt hieruit:
De bovenstaande zes vergelijkingen plus de zes vergelijkingen (21) vormen samen twaalf onafhankelijke vergelijkingen
waaruit ik de twaalf onbekenden n
1, n
2, n
3,
α
1, α
2, α
3,
β
1, β
2, β
3,
γ
1, γ
2 en γ
3 kan oplossen.
Omdat de onbekenden n
1, n
2 en n
3 mij het meest interesseren ga ik me daarop richten.
Daartoe ga ik de zes vergelijkingen (53) opschrijven in drie groepen van drie, dit is de eerste groep:
Dit is de tweede groep:
En dit is de derde groep:
Nu werk ik eerst verder met de eerste groep.
Ik vermenigvuldig die drie vergelijkingen met respectievelijk α
1, β
1 en γ
1,
daarna met α
2, β
2 en γ
2,
en tenslotte met α
3, β
3 en γ
3:
Nu trek ik (57b) en (57c) van (57a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (58b) en (58c) van (58a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (59b) en (59c) van (59a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Je voelde het waarschijnlijk al aankomen, dit ga ik ook doen voor de tweede - en de derde groep.
Voor de tweede groep is het dus ook weer vermenigvuldigen met respectievelijk
α
1, β
1 en γ
1,
daarna met α
2, β
2 en γ
2,
en tenslotte met α
3, β
3 en γ
3:
Nu trek ik (61b) en (61c) van (61a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (62b) en (62c) van (62a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (63b) en (63c) van (63a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Zoals ik aan het begin van deze pagina al zei dienen er heel wat vergelijkingen opgelost te worden, dus we gaan vrolijk verder.
Voor de derde groep volgt weer dezelfde aanpak, dus vermenigvuldigen met respectievelijk
α
1, β
1 en γ
1,
daarna met α
2, β
2 en γ
2,
en tenslotte met α
3, β
3 en γ
3:
Nu trek ik (65b) en (65c) van (65a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (66b) en (66c) van (66a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Nu trek ik (67b) en (67c) van (67a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):
Ik stel:
Daarmee worden de vergelijkingen (64) en (68):
Met deze zes vergelijkingen ga ik uitdrukkingen formuleren voor
α
1, α
2, α
3,
β
1, β
2, β
3,
γ
1, γ
2 en γ
3
(in het
kwadraat)
als functies van f
1, f
2, f
3,
g
1, g
2 en g
3.
Ik begin met α
1, α
2 en α
3.
Daartoe substitueer ik eerst (71a) en (72a) in (21a), vervolgens substitueer ik (71b) en (72b) in (21b),
en daarna substitueer ik (71c) en (72c) in (21c):
Deze resultaten stop ik in de vergelijkingen (71) om uitdrukkingen te vinden voor
β
1, β
2 en β
3
(in het
kwadraat):
En door de vergelijkingen (73) in de vergelijkingen (72) te stoppen vind ik uitdrukkingen voor
γ
1, γ
2 en γ
3
(in het
kwadraat):
De vergelijkingen (71) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de
α
1β
1, α
2β
2
en α
3β
3 producten:
De vergelijkingen (72) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de
α
1γ
1, α
2γ
2
en α
3γ
3 producten:
En de vergelijkingen (71), (72) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de
β
1γ
1, β
2γ
2
en β
3γ
3 producten:
Allemaal prachtig natuurlijk, maar nu weet ik nog steeds niets over
n
1, n
2 en n
3.
Daarom ga ik nu verder werken met deze negen vergelijkingen:
Ik substitueer de vergelijkingen (64a) en (68a) in (60a):
En ik substitueer de vergelijkingen (64b) en (68b) in (60b):
En ik substitueer de vergelijkingen (64c) en (68c) in (60c):
Ik zet de resultaten van de vergelijkingen (79) even netjes onder elkaar:
Ik stel:
Het moge duidelijk zijn dat n
1', n
2' en n
3' de nulpunten zijn van de
derdegraads vergelijking:
Ik stel:
Waardoor (81) wordt:
We gaan ons nu bezig houden met het
oplossen van een derdegraads vergelijking
(klik op de link voor alle details).
Eerst voer ik de volgende translatie uit:
Dan gaat (83) over naar de
gereduceerde functie:
Hierin zijn p' en q':
Daaruit volgt k':
En dit is de
discriminant
D van een
derdegraads vergelijking:
De
discriminant
geeft aan
hoeveel nulpunten er zijn:
- D > 0: drie nulpunten
- D = 0: twee nulpunten
- D < 0: één nulpunt
Hierbij heb ik het uiteraard over de
reële
nulpunten, want ik wil een reële transformatie van x naar t zonder dat er ergens
imaginaire
getallen opduiken.
Dus D
moet groter dan nul zijn.
Ik introduceer nu de hoek θ':
Hiermee kan ik de drie nulpunten berekenen als volgt:
Ik pak vergelijking (17) er weer bij en ik verbouw die een beetje:
Het product P
2Q staat onder een
wortelteken
en moet dus positief zijn, want anders heeft deze hele transformatie geen zin.
Om die reden moet (n
1' − n
2') altijd positief zijn, dus het nulpunt n
1' moet
rechts van n
2' liggen.
Verder wil ik dat die breuk voor de sin
2 t ook altijd positief is, daarom moet
(n
3' − n
2') ook altijd positief zijn (de noemer was het al, zie de vorige zin)
en daarom moet n
3' ook rechts van n
2' liggen.
Verder moet de teller van de breuk kleiner zijn dan de noemer van de breuk, omdat de breuk anders groter dan één
kan worden waardoor P
2Q alsnog negatief wordt, dus (n
3' − n
2') moet kleiner
zijn dan (n
1' − n
2').
Dit alles betekent dat n
2' het linkernulpunt is, n
3' de middelste en n
1' is het
rechtermiddelpunt:
Voor n
1, n
2 en n
3 volgt hieruit:
Ik stel:
Waarmee vergelijking (90) wordt:
Nu grijp ik helemaal terug naar vergelijking (6), de functie waar ik dit hele verhaal mee begonnen ben, en ik ga de
transformatie naar t erin brengen:
Ik stel:
De noemer van de functie ziet er nu al een heel stuk aantrekkelijker uit.
De
integraal
wordt dan:
We zitten nu nog met de teller waar die P
3 is opgedoken en natuurlijk moet dx nog getransformeerd worden naar dt.
Ik ga eerst met de omzetting van dx naar dt aan de slag.
Daarvoor maak ik gebruik van de vergelijkingen (9):
Ik neem links en rechts de
differentiaal
van vergelijking (9a):
Vervolgens substitueer ik (9b) in (98) en ga ik een partij knutselen:
Dan ga ik nu weer haken wegwerken en termen samennemen:
Met behulp van de vergelijkingen (32) wordt dit:
Zo ontstaat uiteindelijk de volgende
integraal:
Met behulp van de vergelijkingen (8) wordt dit:
Omdat de
grenzen
van de
integraal
0 en 2π zijn, kunnen we enkele termen van de teller van (103) wegstrepen omdat die als resultaat nul opleveren.
Om dat in te zien heb ik een grafiek gemaakt van de term met de
sinus
(de blauwe lijn in de figuur hieronder).
De grafieken van f (t) = ν sin
2 t (de rode lijn),
f (t) = 1/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de groene lijn)
en f (t) = sin t/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5
Die
sinusterm
(de blauwe lijn) beweegt zich heerlijk symmetrisch om de x-as en door te
integreren
van 0 tot 2π levert dat nul als resultaat.
Ditzelfde verhaal geldt natuurlijk ook voor de term met de
cosinus:
De grafieken van f (t) = ν sin
2 t (de rode lijn),
f (t) = 1/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de groene lijn)
en f (t) = cos t/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5
En het geldt ook voor de term met het product van beide:
De grafieken van f (t) = ν sin
2 t (de rode lijn),
f (t) = 1/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de groene lijn)
en f (t) = cos t sin t/(1 − ν sin
2 t)
3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5
Vergelijking (103) vereenvoudigt daarmee tot:
Nu ga ik die cos
2 t eruit werken:
Ik kan dit verder verbouwen tot:
Ik stel:
Waardoor (106) overgaat in:
En zo is deze
integraal
uiteindelijk uitgedrukt in twee bekende (elliptische)
integralen.
Deze beide
integralen
vinden we terug in de
tabel met integralen.
Aldus bereiken we het antwoord:
Samenvatting
Ik ga dit hele verhaal even samenvatten, dit was het uitgangspunt:
Allereerst verbouw ik de te
integreren
functie door te stellen dat:
Zodat de functie deze overzichtelijker vorm krijgt:
Ik
ga over naar een andere variabele,
van x naar t:
Daarna komen er heel veel transformatievergelijkingen die tot diverse relaties tussen de
α’s, β’s en γ’s leiden:
Ik stel:
Hiermee kom ik tot negen uitdrukkingen voor
α
1, α
2, α
3,
β
1, β
2, β
3,
γ
1, γ
2 en γ
3
(in het
kwadraat)
als functies van f
1, f
2, f
3,
g
1, g
2 en g
3:
Tevens volgen negen uitdrukkingen voor de diverse kruisproducten tussen de α’s, β’s en γ’s:
Uiteindelijk is dit de opmaat naar een
derdegraads vergelijking
om de drie nulpunten n
1, n
2 en n
3 te bepalen:
Dan volgt er een translatie:
Zo ontstaat de
gereduceerde vergelijking:
Waarin:
Ik definieer de hoek θ':
Hiermee kunnen de drie nulpunten bepaald worden:
Daarna kan ik het volgende stellen:
De
differentialen
van x en t verhouden zich als volgt:
En zo ontstaat uiteindelijk deze
integraal:
Die laat zich vervolgens omschrijven naar
elliptische integralen:
Waarin:
Zo bereik ik uiteindelijk het langverwachte antwoord:
De grafiek van F (x) voor a = b = c = d = e = 0.2 (de rode lijn),
a = b = c = d = e = 0.5 (de groene lijn) en a = b = c = d = e = 0.8 (de blauwe lijn), C = 0
Naar de volgende integraal: de integraal van
Naar de vorige integraal: de integraal van
Tabel met integralen
Tabel met afgeleiden
Tabel met Taylor-reeksen
Differentiëren
Integreren
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 3
Vectoren, vraagstuk 48
Vectoren, vraagstuk 93
De Taylor-reeks van
Bewerkingen met reeksen
De cycloïde
Holomorfie van de functie
Integreren van complexe functies
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 12
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen