Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn) en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn)

Gegeven is dat a < 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksboven (in het tweede kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsonder (in het vierde kwadrant).

a < 0

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D nul is, dus er zijn twee nulpunten.

D < 0

D = 0

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn) en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn)

Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as.

Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Ik stel:

Hiermee wordt de functie:

Ik haal er even een hulpvariabele bij:

De discriminant is nul, dus er zijn twee nulpunten. Of preciezer gezegd: twee nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. Die kan ik als volgt berekenen (x₁ is het snijpunt, x₂ is het raakpunt):

Het verschil van x₂ en x₁ is:

Omdat q'' positief is, is het verschil van x₂ en x₁ ook positief. Het raakpunt x₂ ligt dus rechts van het snijpunt x₁. De integraal wordt dan:

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het raakpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

Voor de integraal heb ik 1/√a staan, maar dat kan helemaal niet omdat a negatief is. Dat ga ik nu repareren:

De oplossing van de integraal van 1/(x (ax − b)^1/2) kun je elders vinden in de tabel met integralen (merk op dat er achter de boogsinus een minteken verschijnt in verband met de absolute waarde van u). Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn)
en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn), C = 0

De integraal vanf (x) = 1/(ax3 + bx2 + cx + d)1/2

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2