Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Bereken de energie-inhoud van het elektrische veld van een geladen bol

De race tegen de lichtstraal

Wat maakt een zwart gat nou eigenlijk tot een zwart gat?

Bereken de Ricci-scalar voor de Schwarzschild-metriek

Bereken alle componenten van de Ricci-tensor voor de Schwarzschild-metriek

Laat zien dat de Schwarzschild-oplossing een oplossing is van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie

Bereken het elektrische veld van een hele lange geladen geleider

Schrijf de Schwarzschild-metriek om van bolcoördinaten naar isotrope coördinaten

Leid de wet van Betz af

Is er voldoende zonne-energie beschikbaar om aan de energiebehoefte van de mensheid te voldoen?

De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Bereken de kinetische energie van een voorwerp

Wat geeft jouw leven betekenis?

Analyse van een model voor de dichtheid van de Zon

Schrijf de ART-vergelijkingen volledig uit in componenten van de metrische tensor

Hoe vormt zich de Ricci-scalar?

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

Wat is de metrische tensor?

Covariant en contravariant, een uitgewerkt voorbeeld

Hoeveel onafhankelijke componenten heeft de Riemann-tensor?

Wat is de Bianchi-identiteit?

Hoeveel mathematisch verschillende componenten heeft de Riemann-tensor maximaal?

Toon alle symmetrieën van de Riemann-tensor aan

Geef een overzicht van alle relativistische transformatievergelijkingen

De reis naar het sterrenstelsel Andromeda

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn) en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn)

Gegeven is dat a < 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksboven (in het tweede kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsonder (in het vierde kwadrant).

a < 0

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D nul is, dus er zijn twee nulpunten.

D < 0

D = 0

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn) en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn)

Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn) en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn)

Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Ik stel:

Hiermee wordt de functie:

Ik haal er even een hulpvariabele bij:

De discriminant is nul, dus er zijn twee nulpunten. Of preciezer gezegd: twee nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. Die kan ik als volgt berekenen (x₁ is het snijpunt, x₂ is het raakpunt):

Het verschil van x₂ en x₁ is:

Omdat q'' positief is, is het verschil van x₂ en x₁ ook positief. Het raakpunt x₂ ligt dus rechts van het snijpunt x₁. De integraal wordt dan:

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het raakpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

Voor de integraal heb ik 1/√a staan, maar dat kan helemaal niet omdat a negatief is. Dat ga ik nu repareren:

De oplossing van de integraal van 1/(x (ax − b)^1/2) kun je elders vinden in de tabel met integralen (merk op dat er achter de boogsinus een minteken verschijnt in verband met de absolute waarde van u):

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor a = −2, b = 13, c = −24, d = 9 (de rode lijn),
a = −3, b = 21, c = −45, d = 27 (de groene lijn)
en a = −2, b = 20, c = −64, d = 64 (de blauwe lijn), C = 0

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

Differentiëren

Derdegraads vergelijking oplossen

De integraal van
f (x) = 1/(x (ax − b)^1/2)

Goniometrie in het platte vlak

Wiskunde algemeen

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)³

De integraal van
f (x) = x/(−a² + x²)^1/2

De integraal van
f (x) = cos x sin x/(1 − a² cos² x)^p

De integraal van
f (x) = sinⁿ (ax)

De integralen van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Vectoren, vraagstuk 56

Vectoren, vraagstuk 94

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − x)^1/2

Fourier-analyse

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 2: de lichtsnelheid

Uitleg artikel precessie van Mercurius: inleiding

Relativistische periheliumprecessie, 2^e orde benadering

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2023