De Ricci-scalar van de Schwarzschild-metriek
Bereken de Ricci-scalar voor de Schwarzschild-metriek.
De Schwarzschild-metriek is de metrische tensor
die hoort bij de Schwarzschild-oplossing:
Het interval ziet er dan als volgt uit:
In al zijn verschijningsvormen is dit de Ricci-scalar:
Ik werk verder met de laatste vorm en om te beginnen ga ik alle haakjes wegwerken:
Dit ziet er weliswaar nog redelijk compact uit, maar merk op dat de dummy indices een sommering vereisen en
dat daarmee het aantal termen explosief toeneemt.
Er zijn vier dimensies, dan bestaan de eerste twee termen (vier dummy indices) stuk voor stuk
uit 4
4 = 256 termen en de overige vijf termen (zes dummy indices) bestaan uit 4
6 = 4096 termen.
In totaal bestaat de
Ricci-scalar, indien ik die volledig
uitschrijf in componenten van de
metrische tensor,
uit 2 × 256 + 5 × 4096 = 20992 termen!
Gelukkig is er ook goed nieuws, want zoals vergelijking (1) laat zien is de
metrische tensor diagonaal.
Oftewel, alle componenten van de
metrische tensor die niet op de
hoofddiagonaal liggen zijn nul.
Ik stel daarom τ = α, ρ = λ en β = δ.
Vergelijking (4) komt er dan zo uit te zien:
Op deze manier heb ik het aantal dummy indices gehalveerd en nu ga ik wel alle termen uitschrijven.
Kijk en huiver:
Het aantal termen is teruggebracht van 20992 naar
2 × 4
2 + 5 × 4
3 = 352 termen,
we zijn al ruim 98% van de termen kwijt!
Er hebben zich componenten van de
metrische tensor
gevormd met ongelijke indices en die gooi ik uit de lijst want die zijn nul:
En zo is het aantal resterende termen gereduceerd tot 124.
Merk op dat iedere diagonale oplossing voldoet aan vergelijking (7), niet alleen specifiek de
Schwarzschild-oplossing.
Een blik op de
metrische tensor vertelt mij:
Het is nu de hoogste tijd om eens wat
partiële afgeleiden te gaan bepalen, waarbij
ik in de vergelijkingen (1) en (2) aflees dat x
0 = t, x
1 = r, x
2 = φ en x
3 = θ:
Hiermee reduceert vergelijking (7) verder:
Nog 34 termen over, het wordt steeds overzichtelijker.
De volgende stap is om termen samen te nemen en/of tegen elkaar weg te strepen:
Zoals de vergelijkingen (9) hebben laten zien zijn alle
afgeleiden naar x
0 = t gelijk aan nul
en dit geldt ook voor alle
afgeleiden naar
x
2 = φ.
De
eerste afgeleiden die niet nul zijn ga
ik nogmaals
differentiëren, maar alleen naar
x
1 = r en naar x
3 = θ:
Ik ga de
determinant bepalen van de
metrische tensor:
Hiermee kan ik de
contravariante componenten bepalen van de
metrische tensor:
En die worden dus:
Hieruit volgt (uiteraard):
Ik stel:
Hiermee worden alle ingrediënten die ik onderweg verzameld heb een stuk compacter:
Dan komt nu het uur van de waarheid, ik ga alle ingrediënten volgens de vergelijkingen (18) invullen in de
vergelijking (11):
En zo komen we bij het, weliswaar niet spectaculaire, maar wel gezochte, resultaat dat de
Ricci-scalar gelijk aan nul is (want de
Schwarzschild-oplossing geldt voor een lege ruimte).