Stel ik heb de volgende situatie. Ik heb een groen assenstelsel en een rood assenstelsel, met de bijbehorende basisvectoren, en nog een willekeurige vector v: De componenten van de vectoren in het groene stelsel zijn e_x = (1, 0), e_y = (0, 1), e’_x = (1, 0.5), e’_y = (0.25, 1) en v = (0.5, 0.5). Ik ben geïnteresseerd in de covariante componenten, de contravariante componenten, het inwendig product en de norm van alle vectoren in zowel het groene - als het rode stelsel. Dat heb ik in detail uitgewerkt op deze pagina en dat leverde dit op:

	Vector	Covariante componenten		Contravariante componenten		Inwendig product (met zichzelf)	Norm
		x	y	x	y
Het groene stelsel
Basisvectoren	ex	1	0	1	0	1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 = 1	√1 = 1
	ey	0	1	0	1	0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 = 1	√1 = 1
Overige vectoren	e’x	1	0.5	1	0.5	1 ∙ 1 + 0.5 ∙ 0.5 = 1.25	√1.25 = 1.118034
	e’y	0.25	1	0.25	1	0.25 ∙ 0.25 + 1 ∙ 1 = 1.0625	√1.0625 = 1.030776
	v	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5 ∙ 0.5 + 0.5 ∙ 0.5 = 0.5	√0.5 = 0.707107
Het rode stelsel
Basisvectoren	e’x	1.25	0.75	1	0	1.25 ∙ 1 + 0.75 ∙ 0 = 1.25	√1.25 = 1.118034
	e’y	0.75	1.0625	0	1	0.75 ∙ 0 + 1.0625 ∙ 1 = 1.0625	√ = 1.030776
Overige vectoren	ex	1	0.25	1.142857	−0.571429	1 ∙ 1.142857 + 0.25 ∙ (−0.571429) = 1	√1 = 1
	ey	0.5	1	−0.285714	1.142857	0.5 ∙ (−0.285714) + 1 ∙ 1.142857 = 1	√1 = 1
	v	0.75	0.625	0.428571	0.285714	0.75 ∙ 0.428571 + 0.625 ∙ 0.285714 = 0.5	√0.5 = 0.707107

Vroeg of laat roept de bovenstaande overzichtstabel twee vragen op:

• Is er niet een of ander ‘ding’ te bedenken waaraan ik direct kan zien hoe mijn assenstelsel eruit ziet?
• Is er niet een of andere wiskundige truc beschikbaar waardoor ik heel gemakkelijk rechtstreeks vanuit de covariante componenten de contravariante componenten kan berekenen en vice versa?

En wat is nou het leuke? Het antwoord op de eerste vraag is “ja”, en daarmee is ook gelijk de wiskundige truc mogelijk van de tweede vraag. De twee specifieke kenmerken van ieder assenstelsel zijn de onderlinge hoeken tussen de assen en de groottes van de basisvectoren. En aangezien het inwendig product precies dát in zich heeft gaan we daar gebruik van maken. Ik stel een matrix op die is gevuld met inwendige producten tussen alle basisvectoren. Deze matrix noem ik g (van geometrie): In het geval dat de basisvectoren eenheidsvectoren zijn, zoals in het groene stelsel, dan vult de hoofddiagonaal zich met enen: En wanneer de assen dan ook nog loodrecht op elkaar staan, we hebben dan een Cartesisch stelsel, dan zijn alle overige elementen nul: Het moge duidelijk zijn dat de matrix g altijd symmetrisch is, omdat het inwendig product commutatief is: Voor het groene stelsel kunnen we g zo opschrijven, het is de eenheidsmatrix: Voor het rode stelsel moeten we wat meer werk doen. Ik ga even wat hoeken aangeven: Door het toepassen van enige elementaire goniometrie vind ik de hoeken: Waarna ik g op kan schrijven voor het rode stelsel: De matrix g is de metrische tensor, of kortweg de metriek. Hieraan kun je direct aflezen hoe je assenstelsel eruit ziet. Is het Cartesisch of niet, en hoe groot zijn de basisvectoren? Net als bij een gewone matrix kunnen we ook van de metrische tensor de inverse bepalen, met dat verschil dat er geen exponent −1 bijkomt maar de indices gaan van laag naar hoog (of vice versa): En nu gaan we de kracht van tensornotatie aan het werk zien. Alle vectoren geef ik vanaf nu de status van tensoren en dat had ik zojuist al gedaan voor de matrix g. De regel is heel simpel: wanneer ik twee tensoren met elkaar vermenigvuldig dan moet ik sommeren over iedere index die zowel een keer hoog als laag voorkomt, en die index komt dan niet meer voor in het antwoord. Dat ziet er dan zo uit, en ik laat vanaf nu de vectorpijltjes weg omdat ik ze zojuist gepromoveerd heb tot tensoren: En hoe weet je dan hoeveel termen je moet sommeren, oftewel, wat is het bereik van j? Dat wordt aan de lezer overgelaten om dat ergens uit de context van het verhaal te destilleren, maar doorgaans is dat het aantal dimensies. In het groene stelsel is dit hele verhaal allemaal niet zo interessant, omdat dat Cartesisch is en g is de eenheidsmatrix, maar in het rode stelsel liggen de zaken anders. Ik zal in detail laten zien hoe dit voor de vector e’_x uitwerkt: Nu doe ik het in minder detail voor alle vectoren in het rode stelsel: En ook even de omgekeerde bewerking: Werken met de metrische tensor is heerlijk en je mag ook heerlijk slordig zijn, het komt toch allemaal wel op z’n pootjes terecht. Want eigenlijk, als je heel netjes bent, moet je een covariante vector als rijvector schrijven en een contravariante vector als kolomvector. Om de regels van de matrixvermenigvuldiging te respecteren behoor je dan te schrijven: Maar dat doet (bijna) geen mens en bovendien zijn de bovenstaande vergelijkingen ook fout volgens diezelfde regels van de matrixvermenigvuldiging (een matrix maal een kolomvector is immers een kolomvector en een rijvector maal een matrix is een rijvector). Daarbovenop, om hetzelfde antwoord te krijgen moet je in het ene geval de getransponeerde versie (b en c wisselen van plaats) van de andere gebruiken: Echter, de metrische tensor is symmetrisch en daarom heeft transponeren geen toegevoegde waarde (en mogen we dus heerlijk slordig zijn).

Om diezelfde regels van de matrixvermenigvuldiging te respecteren is dit wel zinvol (met de covariante vector als rijvector en de contravariante vector als kolomvector): En dit is onzin: Ook daar stoort (bijna) niemand zich aan, men snapt wat er bedoeld wordt en dat voldoet.

En zoals ik hiervoor al opmerkte moet de lezer zelf uitdokteren over welk bereik er gesommeerd moet worden. Sterker nog, ook het sommatieteken is overboord gekieperd (door Einstein) en mag door de lezer zelf erbij geïnterpreteerd worden. Je kunt het allemaal vergelijken met dat je in de auto zit en zegt “ik rij tachtig”. Zonder dat je vermeldt wat de eenheid is, zonder dat je vermeldt in welke richting, zonder dat je vermeldt ten opzichte waarvan, zelfs zonder dat je vermeldt dat het over de snelheid gaat weet iedere toehoorder perfect waar je het over hebt. Zo is het ook met tensornotatie, zolang je indices maar kloppen (het juiste aantal en op de juiste hoogte) dan komt alles goed.

Tenslotte wil ik nog opmerken dat de covariante versie van de metrische tensor gevormd wordt door de covariante componenten van de basisvectoren (omdat de metrische tensor symmetrisch is mag ik de basisvectoren als kolomvectoren naast elkaar zetten of als rijvectoren boven elkaar): Of door twee matrices te vermenigvuldigen als volgt: Rood of groen als index meegeven is kennelijk overbodig, dus die kan ik dan ook wel weglaten: Oftewel: Hetgeen ons weer brengt bij het begin, vergelijking (1): Alles wat ik wens te converteren kan ik doen met een matrix die opgebouwd is uit basisvectoren:

De basisvectoren uitgedrukt in contravariante componenten
Contravariant groen naar contravariant rood:	Covariant groen naar covariant rood:
Contravariant rood naar contravariant groen:	Covariant rood naar covariant groen:
De basisvectoren uitgedrukt in covariante componenten
Contravariant groen naar covariant groen:	Contravariant rood naar covariant rood:
Covariant groen naar contravariant groen:	Covariant rood naar contravariant rood:

De metrische tensor vervult een sleutelrol, het is een link tussen covariant en contravariant en maakt in één oogopslag duidelijk met wat voor een soort assenstelsel je te maken hebt. Het is moeilijk het belang van de metrische tensor te overschatten.