Dit is de covariante metrische tensor: En we willen op de een of andere manier toewerken naar de contravariante metrische tensor: Om de hierboven gestelde vraag te kunnen beantwoorden gaan we ons eerst bezig houden met matrices en determinanten. Stel, we hebben de volgende matrix M: De determinant van M is gedefinieerd als: En stelt dat getal, de determinant, nog iets voor of kunnen we daar ook iets mee? Jazeker, de absolute waarde van de determinant is het volume van de vectorruimte die door de vectoren in de matrix opgespannen wordt. We praten over een vectorruimte ongeacht het aantal dimensies van die ruimte. De matrix M zoals hierboven beschreven zou bijvoorbeeld kunnen bestaan uit twee vectoren V₁ (a, c) en V₂ (b, d). Deze twee vectoren vormen twee zijden van een vierhoek: een parallellogram. En ofschoon dit parallellogram zo plat is als een dubbeltje spreken we toch van een vectorruimte. Het volume van deze vectorruimte (lees: de oppervlakte van het parallellogram) is gelijk aan | det (M) |. Altijd? Ja, altijd! Laten we eens kijken naar een 3 × 3 matrix. De matrix P zoals hierboven beschreven zou kunnen bestaan uit drie vectoren V₁ (a, d, g), V₂ (b, e, h) en V₃ (c, f, i). Deze drie vectoren vormen drie zijden van een ‘scheef blok’: een parallellepipedum. Ook hier geldt: het volume van deze vectorruimte (lees: het volume van het parallellepipedum) is gelijk aan | det (P) |. Maar hoe bereken je dan de determinant van P? Dat doen we door in de matrix P op zoek te gaan naar ondermatrices, en daarbij stellen we ons voor dat de matrix op de plaats van de haken aan elkaar gelijmd is zodat je een cilindervorm krijgt met de letters a t/m i aan de buitenkant van de cilinder.

• Vanuit a bezien is het blok (e, f, h, i) een ondermatrix met als onderdeterminant (ei − fh).
• Vanuit b bezien is het blok (f, d, i, g) een ondermatrix met als onderdeterminant (fg − di).
• Vanuit c bezien is het blok (d, e, g, h) een ondermatrix met als onderdeterminant (dh − eg).

In plaats van de term onderdeterminant zie je tegenwoordig ook wel de term minor, maar volgens mij is dit overgenomen uit het Engels zonder dat men nog beseft dat het Engels is (zoals men bij trottoir niet meer beseft dat het Frans is en dat het gewoon stoep heet). Vanaf nu duid ik de onderdeterminant aan met odet. De totale determinant van P wordt dan: Ondermatrices en onderdeterminanten kun je bepalen vanuit iedere positie binnen de matrix. En daarvoor is het eigenlijk het handigst om de matrix te visualiseren alsof die helemaal omringd is door soortgelijke matrices. Stel dat ik ondermatrices wil bepalen vanuit de rij d e f, dan hoef ik alleen maar te kijken welke vier elementen zich rechtsonder mijn kijkpositie bevinden.

• Vanuit d bezien is het blok h i, b c een ondermatrix met als onderdeterminant (ch − bi).
• Vanuit e bezien is het blok i g, c a een ondermatrix met als onderdeterminant (ai − cg).
• Vanuit f bezien is het blok g h, a b een ondermatrix met als onderdeterminant (bg − ah).

De totale determinant wordt dan: En hier komt (uiteraard) hetzelfde uit als toen ik ‘keek’ vanuit de rij a b c. Het maakt helemaal niets uit vanuit welke rij of kolom ik ondermatrices ga bepalen, altijd weer kom ik voor de totale determinant op hetzelfde resultaat uit. Een andere benadering om een determinant samen te stellen uit onderdeterminanten is als volgt. Stel dat ik de onderdeterminant van b wil bepalen dan sloop ik de rij en de kolom waar b in voorkomt (dus de eerste rij en de tweede kolom) uit de matrix. Wat er dan overblijft is het blok d f, g i. De determinant hiervan is di − fg. Vervolgens tel ik het rijnummer en het kolomnummer op van het element waarvan ik de ondermatrix bepaal, indien deze som even is dan krijgt de onderdeterminant een plusteken en indien de som oneven is een minteken. Het rijnummer van het element b is 1 en het kolomnummer is 2. De som hiervan is 1 + 2 = 3, dit is oneven dus krijgt de onderdeterminant een minteken mee. Dit is wat minder inzichtelijk maar je kunt het altijd blind toepassen. En van hieruit gaan we nog een stap verder door een 4 × 4 matrix onder de loep te nemen, en wel met de methode die ik zojuist heb beschreven. We zien bijvoorbeeld dat de ondermatrix van a gevormd wordt door het blok f g h, j k l, n o p. De onderdeterminant van a is dan f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn). Het rijnummer van a is 1 en het kolomnummer is ook 1. De som hiervan is 1 + 1 = 2, dit is even dus krijgt de onderdeterminant een plusteken mee. Dit gaan we doen voor alle elementen van de matrix Q.

Element	Ondermatrix	Onderdeterminant (inclusief het bijbehorende teken!)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
Tabel 1

De totale determinant van de matrix Q wordt dan: Nu gaan we een nieuwe matrix bouwen. Deze matrix noemen we R en elk element van de matrix R wordt gevormd door van elk overeenkomstige element van de matrix Q de onderdeterminant te nemen en te delen door de determinant van Q. En met elk ‘overeenkomstig element’ bedoel ik het element van de matrix R die op dezelfde positie staat als een element in de matrix Q. Er geldt dus: Het element a van de matrix Q heeft als onderdeterminant +(f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn)) en het linksboven element van de matrix R wordt dus +(f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn))/det (Q). Om de vergelijkingen niet te lang te maken schrijf ik det (Q) niet volledig uit in elementen. Hoe zien dan alle elementen van de matrix R eruit? Voor de overzichtelijkheid zet ik ze onder elkaar in een tabel.

Element Q	Element R (inclusief het bijbehorende teken!)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
Tabel 2

Om de chaos helemaal compleet te maken ga ik deze twee matrices, Q en R, met elkaar vermenigvuldigen. De matrix die dan ontstaat noemen we S. Matrices vermenigvuldigen doe je door de rijelementen van de ene matrix met de kolomelementen van de andere matrix te vermenigvuldigen. Het eerste element van de matrix S wordt dan: Stel nou dat de matrix Q symmetrisch is (net als voor tensoren geldt dan dat Q_rk = Q_kr), dan geldt: De determinant van Q wordt dan: En het element s₁₁ wordt dan: Die zag je niet aankomen hè? Waarschijnlijk zat je te denken waar deze gigantische puinhoop toe moest leiden (wat ik me helemaal kan voorstellen :) ), en dan staat daar ineens 1! Kijk, nu wordt het ineens heel interessant. Daarom gaan we snel het volgende element van de matrix S bepalen: En hier komt nul uit! De overige elementen mag je zelf narekenen, maar uiteindelijk gaat de eenheidsmatrix ontstaan: een hoofddiagonaal gevuld met enen en voor de rest allemaal nullen. En omdat ik hier uitgegaan ben van een symmetrische matrix (Q_rk = Q_kr) is de matrix Q de getransponeerde versie (rijen en kolommen omwisselen) van zichzelf. Dus stel dat Q een covariante tensor is dan heb ik op deze manier zijn contravariante tegenhanger gemaakt (en andersom geldt natuurlijk precies hetzelfde). Haal ik nou geen tensoren en matrices door elkaar? Nee, voor dit soort rekenkundige bewerkingen zijn tensoren en matrices aan elkaar gelijk, een tensor kun je zien als een matrix, maar een matrix niet per definitie als een tensor. Een matrix is een rechthoek gevuld met getallen die in rijen en kolommen opgesteld staan. Niets meer en niets minder. Een tensor is iets en een tensor doet iets, een tensor is onafhankelijk van coördinatenstelsels en de componenten van een tensor transformeren volgens de transformatievergelijkingen.

• de tensor g_μν is iets, het is de metrische beschrijving van de n-dimensionale ruimte (in dit geval de 4-dimensionale ruimtetijd),
• de tensor g_μν doet iets, als ik een vector V vermenigvuldig met een scalar (getal) a dan krijg ik een vector die in de zelfde richting wijst als V, als ik V vermenigvuldig met de vector W via het uitwendig product V × W dan ontstaat een vector die loodrecht op V en W staat, maar als ik de bewerking g_μν V^ν uitvoer dan ontstaat een vector die iedere vrijheidsgraad heeft om waar dan ook heen te wijzen: de tensor g_μν is een soort vector-bijbuig-machientje,
• de tensor g_μν is onafhankelijk van coördinatenstelsels,
• de componenten van de tensor g_μν transformeren volgens ∂x_ν/∂x_σ'.

Wanneer ik tig keer met een dobbelsteen gooi en het aantal ogen dat ik iedere keer gooi schrijf ik netjes op dan ontstaat een matrix, maar volgens bovenstaande punten is dat in de verste verte geen tensor. Aan de andere kant gelden alle eigenschappen van matrices wel voor tensoren. Een tensor is altijd een matrix, een matrix zou een tensor kunnen zijn.

Hierboven heb ik laten zien dat wanneer ik van een symmetrische matrix Q van ieder element de onderdeterminant neem en die vervolgens deel door de determinant van Q dan kan ik daaruit een nieuwe matrix R vormen. Door die twee matrices met elkaar te vermenigvuldigen ontstaat de eenheidsmatrix I.

Met andere woorden, de matrices Q en R zijn de inverse matrices van elkaar (Q is de inverse matrix van R en R is de inverse matrix van Q). Vergelijking (8.16) kan ik natuurlijk ook opschrijven voor de metrische tensor g, maar dan heb ik nog een ‘ding’ nodig met indices die ik kan aanduiden als een ‘eenheidstensor’. Dit ‘ding’ heet de Kronecker-delta: δ (genoemd naar Leopold Kronecker).

Waarbij geldt: In vervolg op vergelijking (12), en uiteraard in combinatie met al het voorgaande, kan ik nu dus het antwoord op de beginvraag opschrijven. Hierbij moet ik wel even goed bedenken dat ik in de beide bovenstaande tabellen de plussen en minnen van de onderdeterminanten van Q respectievelijk de elementen van R al meegenomen had, dus die moet ik wel expliciet meenemen in het antwoord: Wanneer ik de inverse bepaal van een gewone matrix dan doe ik dat als volgt: Dit ziet er iets anders uit dan de vergelijkingen (20), omdat de indices van plaats wisselen. Voor de metrische tensor maakt dat echter niet uit, omdat die tensor symmetrisch is. En ik heb hier telkens gesproken over de metrische tensor, maar dit hele verhaal geldt uiteraard voor iedere symmetrische tensor van de tweede rang.