De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos x)
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 + a cos x)
De grafiek van f (x) = 1/(1 + a cos x) voor a = −2 (de rode lijn),
a = −3 (de groene lijn) en a = −4 (de blauwe lijn)
De
integraal
van deze functie gaat via wat trucs en omwegen.
Om te beginnen zet ik de
cosinus
om naar een
kwadraatvorm door gebruik te maken van de
dubbele-hoek-formules uit de
goniometrie.
Daarbij gebruik ik:
Ik stel daarom:
Dan kan ik de
integraal schrijven als:
Vervolgens maak ik ook nog gebruik van:
Nu ga ik een partij knutselen:
Ik stel nu dat:
Hierdoor wordt de
integraal:
Ik ga nogmaals
over naar een andere variabele:
Hetgeen ons uiteindelijk brengt bij de
integraal:
De oplossing van de
integraal
van 1/(a
2 − x
2) kun je elders vinden in de
tabel met integralen.
De
integraal wordt dan:
Nu moeten we uiteraard nog terugwerken naar de oorspronkelijke variabelen.
Eerst vervang ik v door u en daarna u door x, en voor b schrijf ik weer a:
Ter controle ga ik het resultaat
differentiëren:
De grafiek van F (x) voor a = −2 (de rode lijn),
a = −3 (de groene lijn) en a = −4 (de blauwe lijn), c = 0