Vectoren, vraagstuk 35
Gegeven is het scalarveld:
Bereken de richtings
afgeleide
van G in
a in de richting van
a naar
b, waarbij:
De grafiek van G (x, y, z) = 2x
2 − y
2 + z
2 voor z = 0
De grafiek van G (x, y, z) = 2x
2 − y
2 + z
2 voor z = 1
De grafiek van G (x, y, z) = 2x
2 − y
2 + z
2 voor z = 2
De grafiek van G (x, y, z) = 2x
2 − y
2 + z
2 voor z = 3
Om de
gradiënt van G te berekenen bepalen we eerst alle
partiële afgeleiden:
Daarmee is de
gradiënt van G in een willekeurig punt:
Vervolgens vullen we het punt
a in:
De richting van
a naar
b is:
De
gradiënt in de richting van
u is de
projectie van
G op
u,
oftewel
G
u.
Dit is |
G
u | maal een ‘eenheidsstukje’ van
u, dus:
We rekenen nu eerst het
inwendig product
G ∙
u uit:
En vervolgens |
u |
2:
Daarmee wordt de projectie:
Met als norm:
Oftewel: