Vectoren, vraagstuk 41
Gegeven G:
- Maak een schets van G.
- Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y2 = 4 − 4x uit in θ.
-
Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:
-
Maak een schets van G.
Een plaatje van het integratiegebied G ziet er als volgt uit:
-
Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt.
Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool
y2 = 4 − 4x uit in θ.
Voor de rechte lijn geldt dat θ = constant. Het snijpunt met de parabool kan dan gevonden worden door de parabool om te schrijven naar poolcoördinaten en vervolgens die waarde voor θ in te vullen. De relatie tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten is:Daarmee wordt de vergelijking van de parabool:
En hieruit kunnen we de snijpunten vinden:
Omdat r2 negatief is, geeft r1 het snijpunt dat we zoeken. Dus:
-
Bereken de volgende integraal
door over te gaan op poolcoördinaten:
Ik ga eerst de te integreren functie omschrijven naar poolcoördinaten:
Verder geldt nog:
Uit het schetsje is te zien dat er geïntegreerd moet worden van r = 1 (de cirkel) tot de parabool:
Alles speelt zich af in het eerste kwadrant en daardoor worden de grenzen voor θ:
Zodat de integraal uiteindelijk wordt:
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 42
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 40
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 26
Vectoren, vraagstuk 71
De covariante metrische tensor naar contravariant en vice versa
De Taylor-reeks van
Tabellen met Taylor-reeksen
Het touw om de Maan
De gammafunctie
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 4: de zaklamp
De vrouw en haar spiegel
Lineariteit van de Lorentz-transformaties
Het waarneembare universum
Fourier-analyse van het onzekerheidsprincipe van Heisenberg (I)
Hoe ziet de wereld er morgen uit?
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen