De integraal van
f (x) = 1/(x (ax + b)1/2)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(x (ax + b)1/2)

De grafiek van f (x) = 1/(x (ax + b)1/2) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 5
Voor het integreren van deze functie maak ik gebruik van goniometrische substitutie door tangens of cotangens:



De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van 1/sin x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
De sinus en de cosinus kan ik schrijven als een functie van de tangens:

Hiermee kan ik de hierboven gevonden primitieve functie ook als volgt opschrijven:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:
Tot slot wil ik nog opmerken dat je de area cosecans hyperbolicus kunt omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:
De oplossing van deze integraal kan ik daarom ook als volgt opschrijven:

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), b = 5, c = 0