Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = x^p e^ax

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = x^p e^ax

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = x^p e^ax

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van f (x) = x^p e^ax voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1

Voor het integreren van deze functie ga ik gebruik maken van partieel integreren:

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

En zo kan ik door blijven gaan totdat ik bij de laatste integraal kom:

Vergelijking

En dat is tenslotte als volgt op te schrijven:

Vergelijking

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0

Taylor

Een belangrijke kanttekening is hier op zijn plaats, want dit werkt alleen indien p een geheel getal is. Als dat niet het geval is dan is deze functie in deze vorm niet te integreren en dan wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

Ter controle ga ik ook dit resultaat differentiëren:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen

Merk op dat beide oplossingen niet identiek zijn, maar een constante verschillen. Voor x = 0 is de eerste oplossing:

Vergelijking

Voor x = 0 is de tweede oplossing:

Vergelijking

Het verschil tussen beide is een constante:

Vergelijking

Miniatuur

Naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

Miniatuur

Naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = x⁵ e^ax

Miniatuur

Tabel met integralen

Miniatuur

Tabel met afgeleiden

Miniatuur

Tabel met Taylor-reeksen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ e^ax

Miniatuur

Partieel integreren

Miniatuur

De afgeleide van
f (x) = xⁿ

Miniatuur

De afgeleide van
f (x) = e^x

Miniatuur

Reeksontwikkeling

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax²

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding

Miniatuur

De illusie van anorexia

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(x³ (ax + b)^1/2)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x² e^−ax²

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − a² cos² x)^1/2

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(a² ± x²)^3/2

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 24

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 69

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026