Waar hoofdstuk A overliep van uitermate diepzinnige natuurkundige, filosofische en psychologische uitweidingen van Einstein, om de geest van de lezer rijp te maken voor wat de algemene relativiteitstheorie behelst, gaat het in hoofdstuk B volledig een andere kant op. Om alles wat in hoofdstuk A door Einstein in de steigers is gezet daadwerkelijk om te zetten in bruikbare vergelijkingen, daar is heel veel wiskunde voor nodig. Zo veel, dat de gemiddelde natuurkundige die niet beheerst. En daarom besteedt Einstein een heel hoofdstuk van zijn artikel aan de uiteenzetting van de benodigde wiskundige gereedschappen.

We gaan op reis naar het land van de tensoren gelegen op het continent differentiaal geometrie. Voor verreweg de meesten van ons is dat een ver en vreemd land waar we waarschijnlijk nog nooit iets over gehoord hebben. Maar dat gaat vanaf nu snel veranderen. In paragraaf 4 is zeer uitgebreid het interval ds (vergelijking (4.41/E3)) aan de orde geweest, en dit interval is invariant, oftewel waarnemer-onafhankelijk. En voor waarnemer kun je hier lezen: coördinatenstelsel. Ik haal nog even de eis van Einstein (uit paragraaf 3) terug onder de aandacht:

• De algemene natuurwetten (alle natuurkundewetten) moeten in vergelijkingen worden uitgedrukt die in alle coördinatenstelsels geldig zijn. Dat een vergelijking bij een coördinatentransformatie naar een ander coördinatenstelsel geldig blijft, heeft de naam covariantie. Met andere woorden: de natuurwetten dienen algemeen covariant te zijn.

Met andere woorden: willekeurige transformaties van de coördinaten x₁, x₂, x₃ en x₄ mogen geen aantasting van de natuurwetten opleveren. En dit wiskundige probleem gaan we nu aanpakken. Met behulp van tensoren dus, in combinatie met heel wat differentiaal geometrie. En ik herinner er nog even aan dat datgene wat door Einstein “lijnelement” genoemd wordt, hier de moderne aanduiding “interval” meekrijgt (maar soms gooi ik er toch nog “lijnelement” tussendoor).

Het is ook leuk hoe Einstein in zijn artikel over tensoren begint te praten: “er zijn bepaalde dingen”. Hij begint gewoon over ‘dingen’ te praten en die ‘dingen’ krijgen langzaam maar zeker een wiskundige vorm. In elk ander boek over relativiteitstheorie word je gelijk overdonderd met zeer abstracte tensorwiskunde waardoor je binnen de kortste tijd door de bomen het bos niet meer ziet. Door Einstein worden de tensoren heel gemoedelijk, bijna natuurlijk, erin gebracht. Einstein houdt niet van onnodige abstracte moeilijkdoenerij, hij staat altijd met minstens een been in de werkelijkheid. We zijn nu bijna een eeuw verder en ik ken maar één (!) persoon die in al die tijd het voor elkaar gekregen heeft om, net als Einstein, relativiteitstheorie aantrekkelijk (en dus begrijpelijk) op schrift te zetten: John Wheeler. Al zijn boeken zijn absolute aanraders (vind ik).

In paragraaf 4 hebben we voor het eerst kennis gemaakt met tensoren. Een tensor bestaat uit componenten en die componenten zijn op hun beurt wiskundige functies. En indien de vergelijkingen bekend zijn, de zogenaamde transformatievergelijkingen, om dingen om te rekenen van het ene coördinatenstelsel naar het andere coördinatenstelsel, dan zijn daarmee ook de componenten van tensoren om te rekenen naar het andere stelsel. Hoe dit allemaal in zijn werk gaat gaan we in hoofdstuk B uitzoeken.

Wat vanaf nu helaas een steeds groter probleem wordt, is het verschil in notatie tussen Einstein en mij. Ik ga er langzaam maar zeker toe over om iedere contravariante index hoog te zetten en iedere covariante index laag. Nu denk je waarschijnlijk nog “waar heeft ie het over?”, maar dat zal in de loop van dit hoofdstuk zeker duidelijk worden. In ieder geval blijf ik de rode draad van het artikel van Einstein volgen en ik volg alle bewijsvoeringen zoals hij het ook heeft gedaan. Dat er dan weleens indices op verschillende hoogte staan mag de pret niet drukken, het gaat om de rode draad.