De trapeziummethode
Je hebt helaas van die momenten dat alle middelen falen en dan rest er niets anders dan om het
integreren over te laten aan de brute rekenkracht van een computer.
Stel ik heb een functie die zich op geen enkele manier laat bedwingen en toch wil ik die functie
integreren van a naar b:
In een plaatje ziet dat er zo uit.
Wanneer ik de
integraal perfect zou kunnen uitrekenen
dan krijg ik als resultaat de grootte van het gele vlak.
Echter, omdat dat niet lukt ga ik het gele vlak benaderen middels een trapezium.
Dit is een beroerde benadering van het gele vlak, maar dat kan ik verbeteren door twee trapeziums te construeren.
Dit ziet er al veel beter uit, en ik kan natuurlijk meer trapeziums in de strijd werpen, bijvoorbeeld tien.
De computer gaat dit uiteindelijk allemaal voor ons uitrekenen, dus over het vele rekenwerk hoeven we niet in te zitten.
Wat is hier nou de systematiek achter?
In het geval van één trapezium is het oppervlak van die ene trapezium:
In het geval van twee trapeziums is het oppervlak van de beide trapeziums samen (het middelste punt noem ik x
c):
De breedte van ieder trapezium is gelijk, laat ik die ∆ noemen.
Dan wordt de vorige vergelijking:
Wanneer ik tien trapeziums gebruik dan kan ik het volgende opschrijven:
Ik heb even de indices α en β gebruikt om alle tussenliggende y-waarden aan te duiden, maar het is beter om alle
y-waarden te gaan nummeren.
Ik stel:
Hiermee wordt de vorige vergelijking:
Voor een willekeurig aantal van n trapeziums komen we aldus tot de trapeziummethode:
En hoe werkt dit uit in de praktijk?
Om dat te laten zien neem ik een willekeurige functie, in dit geval y = x
3, en die integreer ik van 2 tot 7.
Wanneer ik de
integraal volgens het boekje
uitreken dan is het antwoord:
Vervolgens heb ik het met de trapeziummethode uitgerekend met verschillende aantallen intervallen en dat levert
onderstaande grafiek op voor de relatieve fout (ten opzichte van het exacte antwoord).
De
logaritme van het aantal intervallen (de rode lijn)
en de
absolute waarde
van de
logaritme van de relatieve fout (de groene lijn)
voor 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000 en 50000 intervallen
Niet verrassend is de relatieve fout dus omgekeerd evenredig met het aantal berekende intervallen.