Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De verdamptijd van een zwart gat

Indien een zwart gat Hawking-straling uitzendt dan zal het zwarte gat uiteindelijk verdwijnen, verdampen als het ware. Hoe lang duurt dat?

Štefan

Boltzmann

Het uitgestraalde vermogen van ieder voorwerp, dus ook van een zwart gat, wordt gegeven door de wet van Štefan-Boltzmann:

De energie die een voorwerp uitstraalt neemt toe
met de vierde macht van de temperatuur

Voor het oppervlak van een bol (de horizon van het zwarte gat in dit geval) geldt:

Schwarzschild

Voor r geldt de Schwarzschild-straal, de straal van het zwarte gat:

Hiermee wordt vergelijking (2):

En dit vul ik in in vergelijking (1):

Hawking

De temperatuur van het zwarte gat is de Hawking-temperatuur:

Deze temperatuur vul ik in in de vorige vergelijking:

Vermogen is energieverandering in de tijd:

De uitgestraalde energie wordt alleen bepaald door de temperatuur
(en de grootte van het oppervlak)

Einstein

En ik maak gebruik van de beroemdste formule van Einstein over de equivalentie van energie en massa:

Hiervan neem ik links en rechts de differentiaal:

De uitgestraalde energie/massa gaat ten koste van de energie/massa van het zwarte gat:

Hiermee wordt vergelijking (10):

Waarmee vergelijking (8) wordt:

Dit combineer ik vervolgens met vergelijking (7) en ik ga wat knutselen:

Tenslotte ga ik links en rechts integreren:

Deze tijd die ik gevonden heb is de tijd die het zwarte gat nodig heeft om uiteindelijk helemaal te verdwijnen, uiteraard onder de aanname dat het zwarte gat gedurende die tijd geen massa absorbeert. Dit noemen we de verdamptijd [Engels: evaporation time]:

Ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens:

Constante van Planck Planck	h	(exact) 6.62607015 ∙ 10⁻³⁴	kg m²/s
Constante van Planck Planck	h/(2π)	1.054571817 ∙ 10⁻³⁴	kg m²/s
Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10⁻¹¹	m³/(kg s²)
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 10⁸	m/s
Pi	π	3.1415926535897932384626433832795028841971 (voor meer decimalen zie deze pagina)

Waarna een rekenmachine mij verder helpt:

En over wat voor verdamptijden hebben we het dan?

Indien dit zou imploderen tot een zwart gat:	Dan zijn dit de horizontemperatuur en de verdamptijd:
De Zon	T = 62 nK T_v = 2.1 ∙ 10⁶⁷ jaren
De Aarde	T = 21 mK T_v = 5.7 ∙ 10⁵⁰ jaren
De Maan	T = 1.7 K T_v = 1.1 ∙ 10⁴⁵ jaren
Kudde olifanten	T = 5.4 ∙ 10¹⁷ K T_v = 1 s
Baksteen	T = 6.1 ∙ 10²² K T_v = 6.7 ∙ 10⁻¹⁶ s
Proton	T = 7.3 ∙ 10⁴⁹ K T_v = 3.9 ∙ 10⁻⁹⁷ s
Elektron	T = 1.4 ∙ 10⁵³ K T_v = 6.4 ∙ 10⁻¹⁰⁷ s

Voor reguliere zwarte gaten (lees: ingestorte sterren) is de verdamptijd dus vele malen langer dan de leeftijd van het heelal (= 1.4 ∙ 10¹⁰ jaren).