Het Doppler-effect
Daarvoor hebben we wat gereedschap nodig. Ik pak de Lorentz-transformaties erbij voor twee stelsels, P en Q, die met een snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen:
Indien een waarnemer een bron nadert die golven genereert (bijvoorbeeld geluid of licht) dan zal deze waarnemer een hogere frequentie waarnemen dan een stilstaande waarnemer. Bij verwijdering van de bron gebeurt precies het omgekeerde en wordt een lagere frequentie waargenomen. Dit effect heet het Doppler-effect, genoemd naar de Oostenrijker Christian Andreas Doppler, en is vooral bekend van een treinpassagier die een spoorwegovergang nadert waar een waarschuwingsbel rinkelt.
Stel dat de bron geluid uitzendt met een frequentie fb = 10 Hz (Hertz), dit betekent dat er iedere seconde 10 geluidsgolven de geluidsbron verlaten en dat er bij een stilstaande waarnemer iedere seconde 10 geluidsgolven zijn oren binnenkomen. De snelheid van het geluid in een gas is afhankelijk van enkele factoren, dit zijn de temperatuur, de massa van de moleculen en de warmtecapaciteit, maar laten we voor het gemak de snelheid van het geluid in lucht constant stellen op vg = 300 m/s. We kunnen dan de golflengte berekenen:Stel dat de waarnemer richting de bron gaat bewegen met vw = 60 m/s dan hoort hij iedere seconde 10 geluidsgolven maar hij ‘pakt’ ook gelijk twee golven mee die hij normaliter pas de volgende seconde zou horen. De frequentie die hij hoort is in dit geval dus geen 10 Hz maar 10 + 2 = 12 Hz. En indien hij met 60 m/s de andere kant op zou bewegen dan mist hij twee golven die hem pas de volgende seconde inhalen, dus hij hoort een frequentie van 10 − 2 = 8 Hz. In formulevorm, wanneer waarnemer W richting de geluidsbron gaat:
In eerste instantie kijk je hier waarschijnlijk vreemd van op, maar wanneer de bron beweegt in plaats van de waarnemer dan wordt het verhaal anders. In een afstand van 300 meter zitten bij een stilstaande bron 10 geluidsgolven ‘opgeborgen’, oftewel de golflengte is 30 meter. Echter, wanneer de bron de andere kant op beweegt met een snelheid van 60 m/s dan worden die 10 geluidsgolven tijdens het uitzenden door de bron uitgesmeerd over een afstand van 300 + 60 = 360 meter. En wanneer de bron in dezelfde richting als het geluid beweegt dan worden de geluidsgolven in elkaar gedrukt en bevinden de 10 geluidsgolven zich in een afstand van 300 − 60 = 240 meter. De golflengtes worden in dit voorbeeld dus 360/10 = 36 meter respectievelijk 240/10 = 24 meter. In formulevorm ziet dit er zo uit:
De golven worden dan allemaal ‘op een hoop geduwd’ en vormen een barrière, de geluidsbarrière!
Ik pak de vergelijkingen (5) en (6) samen en schrijf ze iets anders op:Hoe zit dit met lichtgolven? Daar heeft Einstein uiteraard over nagedacht. Een golf g heeft een vorm die we wiskundig sinus noemen, afgekort sin:
We kunnen ons rijtje relativistische waarnemingen nu uitbreiden met het relativistische Doppler-effect:
Tot slot wil ik nog opmerken dat de snelheid positief is indien de bron van de elektromagnetische golven zich verwijdert van de waarnemer en de snelheid is negatief indien bron en waarnemer elkaar naderen. In het laatste geval worden in de vergelijkingen (29) en (30) de plussen minnen en vice versa (of beter gezegd: β wordt negatief).
De grafiek van f’/f als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn),
de bron verwijdert zich van de waarnemer
De grafiek van f’/f als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn),
de bron nadert de waarnemer