Alle deeltjes, reëel of virtueel, zijn, de naam zegt het al, deeltjes. En deeltjes manifesteren zich als golven, of netter gezegd: als excitaties in het kwantumveld. Laten we eens een dergelijke golf (een deeltje dus) gaan beschouwen door de ogen van een versnellende waarnemer. Het bovenstaande plaatje toont de golf, het is een gewone sinus met een bepaalde frequentie. En ergens bevindt zich een waarnemer, het groene vierkantje, die versnelt ten opzichte van de golf.

Die waarnemer neemt de frequentie van de golf waar met een Doppler-verschuiving:

Hierin is de plus of de min van toepassing afhankelijk van nadering of verwijdering van bron en waarnemer, en β is de relatieve snelheid (de snelheid als fractie van de lichtsnelheid): Voor de versnellende waarnemer is die snelheid uiteraard niet constant, maar neemt toe met de tijd volgens (voor de afleiding zie deze pagina): Voor het gemak schrijf ik even: Nu ga ik met die tangens hyperbolicus knutselen: Ik vermenigvuldig links en rechts met 2π: Vervolgens ga ik de fasehoek uitrekenen door, zoals het hoort, de hoeksnelheid te integreren naar de tijd: In complexe e-machtnotatie komen we dan tot het volgende signaal: Hierin is A de amplitude van het signaal.

De volgende stap is om hierop een Fourier-transformatie uit te voeren zodat ik het spectrum van het signaal krijg:

Vervolgens neem ik de absolute waarde én het kwadraat van dit spectrum én ik middel het uit zodat ik de spectrumdichtheid vind: Deze integraal is een uiterst complex verhaal, en daarom spring ik voor deze ene keer rechtstreeks naar het antwoord:

Ter vergelijking zet ik hier de stralingswet van Planck onder:

Dat rechter stuk noemen we de Planck-factor: Met iets andere ingrediënten staat die Planck-factor ook helemaal rechts in vergelijking (11). Dat leidt logischerwijs naar de volgende stap: de exponenten van de e-machten in de Planck-factor aan elkaar gelijk stellen: Zo komen we tot het spectaculaire tussenresultaat dat een versnellende waarnemer een deeltje, ook een virtueel deeltje, registreert als ‘iets’ met een hele echte reële temperatuur!

Ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens:

Constante van Boltzmann Boltzmann	k	1.380649 ∙ 10−23	J/K = kg m2/(s2 K)
Constante van Planck Planck	h	(exact) 6.62607015 ∙ 10−34	kg m2/s
	h/(2π)	1.054571817 ∙ 10−34	kg m2/s
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 108	m/s
Pi	π	3.1415926535897932384626433832795028841971 (voor meer decimalen zie deze pagina)

Waarna een rekenmachine mij vertelt:

Deze temperatuur, de temperatuur van het vacuüm zoals waargenomen door een versnellende waarnemer, staat nu in de boeken als de Unruh-temperatuur en is recht evenredig met de versnelling van de waarnemer. Oftewel, het vacuüm van de inertiale (= ‘stilstaande’) waarnemer ‘ziet’ er voor de versnellende waarnemer uit als een warm gas van vele deeltjes in thermisch evenwicht:

Dit tussenresultaat gaan we middels het equivalentieprincipe koppelen aan zwaartekracht, en om precies te zijn aan de zwaartekracht van een zwart gat en daarvoor gebruik ik de valversnelling. In dit vraagstuk heb ik de valversnelling van een zwart gat bepaald (even afgezien van het teken):

De horizon van een zwart gat is gelijk aan de Schwarzschild-straal:

Tijdens het passeren van de horizon (vergelijking (18)) is de valversnelling (vergelijking (17)): Deze versnelling vul ik in in vergelijking (16): Zo komen we tot een nog spectaculairder resultaat: de horizon van een zwart gat heeft een temperatuur(tje)! Een zwart gat is niet zwart, maar (een heel klein beetje) grijs. Ik raadpleeg nogmaals de tabel met fysische gegevens:

Constante van Boltzmann Boltzmann	k	1.380649 ∙ 10−23	J/K = kg m2/(s2 K)
Constante van Planck Planck	h	(exact) 6.62607015 ∙ 10−34	kg m2/s
	h/(2π)	1.054571817 ∙ 10−34	kg m2/s
Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 108	m/s
Pi	π	3.1415926535897932384626433832795028841971 (voor meer decimalen zie deze pagina)

Waarna een rekenmachine mij weer verder helpt:

Ook een zwart gat heeft dus een temperatuur (die groter is dan nul), de Hawking-temperatuur, en alles wat een temperatuur heeft straalt energie uit (zie deze pagina). Deze straling, deze ontdekking, is nu wereldberoemd als Hawking-straling.

En over wat voor temperaturen hebben we het dan?

Indien dit zou imploderen tot een zwart gat:	Dan is dit de horizontemperatuur:
De Zon	T = 62 nK
De Aarde	T = 21 mK
De Maan	T = 1.7 K
Kudde olifanten	T = 5.4 ∙ 1017 K
Baksteen	T = 6.1 ∙ 1022 K
Proton	T = 7.3 ∙ 1049 K
Elektron	T = 1.4 ∙ 1053 K

Voor reguliere zwarte gaten (lees: ingestorte sterren) ligt de horizontemperatuur dus nauwelijks boven het absolute nulpunt en in ieder geval ruim beneden de één Kelvin.