Oppervlaktezwaartekracht is een merkwaardige term, want eigenlijk bedoelt men niet de zwaartekracht maar de valversnelling, en in combinatie met een zwart gat wordt het nog merkwaardiger want een zwart gat heeft helemaal geen oppervlak.

Om met het eerste punt te beginnen, dit is volgens Newton de zwaartekracht die twee lichamen op elkaar uitoefenen:

De zwaartekracht is afhankelijk van de beide massa’s, M en m, en daarom praat men liever over de valversnelling. Volgens de eerste wet van Newton geldt:

Door de vergelijkingen (1) en (2) te combineren vind ik de valversnelling (en die is dus onafhankelijk van de massa van het vallende object zoals Galileï al opmerkte):

Deze valversnelling geven we aan met de letter g (al dan niet met het minteken erbij): Ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Massa	m	5.9742 ∙ 1024	kg
Straal (evenaar)	r	6.378 ∙ 106	m

Wanneer ik vervolgens een rekenmachine ter hand neem dan vind ik de beroemde waarde: g = 9.8 m/s². Stel dat zich onder mij ineens een luik zou openen en ik begin te vallen dan is mijn valversnelling precies deze waarde van g. In de praktijk heeft men het ook vaak over g-krachten. Iedereen snapt wat er mee wordt bedoeld, maar het is wel een onzinzin want g is een versnelling en geen kracht. In de literatuur praat men met groot gemak over de oppervlaktezwaartekracht [Engels: surface gravity] van een zwart gat, maar men bedoelt dus de valversnelling. Bovendien heeft een zwart gat helemaal geen oppervlak, maar refereert men doorgaans aan de horizon. De vraag “Wat is de oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat?” moet dus eigenlijk luiden “Wat is de valversnelling wanneer je in een zwart gat valt, in het bijzonder bij het passeren van de horizon?”. Voor het antwoord op die vraag beschouw ik allereerst onderstaande tabel.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking

In dit vraagstuk heb ik de versnelling bepaald van een baksteen die in een zwart gat valt volgens een verre stationaire waarnemer met dit resultaat:

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de straal van een zwart gat:

Merk op dat deze versnelling op grote afstand van het zwarte gat gelijk is aan het Newtonse equivalent: De versnelling van een invallend voorwerp is volgens een verre stationaire waarnemer ter plekke van de horizon gelijk aan nul (net als de snelheid): Hier komen we dus niet verder mee. Bovendien is dit bezien vanuit een waarnemer die zich ver van het zwarte gat bevindt, en dat is niet wat we zoeken.

In dit vraagstuk heb ik de versnelling bepaald van een baksteen die in een zwart gat valt volgens een nabije stationaire waarnemer met dit resultaat: Merk op dat ook voor deze waarnemer de versnelling op grote afstand van het zwarte gat gelijk is aan het Newtonse equivalent: De versnelling van een invallend voorwerp is volgens een nabije stationaire waarnemer ter plekke van de horizon gelijk aan oneindig: Hier maak ik een grafiek van en ik zet de negatieve versnelling uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt. Hier komen we ook niet verder mee. De nabije stationaire waarnemer kan zich trouwens ter plekke van de horizon helemaal niet handhaven, want dan zou hij een oneindige versnelling moeten ontwikkelen om überhaupt stationair te blijven. Hij kan slechts een uitspraak doen over het limietgeval dat hij zich ter plekke van de horizon zou bevinden, maar hij kan daar helemaal niet komen (zonder het zwarte gat ingezogen te worden).

Stel dat iemand met de baksteen meebeweegt het zwarte gat in, wat zijn dan zijn observaties? In dit vraagstuk heb ik de versnelling bepaald van die meebewegende waarnemer en dat antwoord was heel simpel: nul. Deze meebeweger kan immers stellen (zoals iedereen): ik beweeg niet, dus mijn snelheid is nul en daarom ook mijn versnelling. Dat is op zich een uitstekend punt, maar dat helpt ons nu ook niet verder. Echter, de meebeweger weet dat hij aan het versnellen is, want hij beweegt immers richting een zwart gat. In dit vraagstuk heeft deze meebeweger die versnelling uitgerekend, omdat hij wilde weten wat de getijdenkrachten zijn waaraan hij blootgesteld gaat worden. Hij vond deze versnelling: Of anders opgeschreven (met behulp van vergelijking (6)): Dit is het antwoord waarnaar ik op zoek ben, en het is (puur toevallig!) precies gelijk aan het Newtonse resultaat. Hier maak ik ook een grafiek van en ik zet weer de negatieve versnelling uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt. Ter plekke van de horizon is de versnelling: Hetgeen ik ook kan schrijven als: Ik raadpleeg nogmaals de tabel met fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid	c	(exact) 2.99792458 ∙ 108	m/s

Waarna een rekenmachine mij het kolossale antwoord geeft: Wanneer ik in een zwart gat val van één zonsmassa (M = 1.9891 ∙ 10³⁰ kg) dan is mijn valversnelling bij het passeren van de horizon ruim een biljoen g’s! Daarentegen, wanneer ik in een zwart gat val van ruim een biljoen zonsmassa’s dan is mijn valversnelling bij het passeren van de horizon maar één g en merk ik er helemaal niets van dat ik het zwarte gat binnenga (vooropgesteld dat ik mijn ogen dicht heb en dus niet om mij heen kijk, ik voel het in ieder geval niet).

Voor deze valversnelling heeft men ook een apart symbool in het leven geroepen (al dan niet met het minteken erbij):