De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt
Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de snelheid
van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit een stationaire waarnemer in de buurt
van het zwarte gat?
De baksteen nadert de
horizon
van het
zwarte gat en wordt
waargenomen door diverse stationaire waarnemers, de kabouters
Ik laat vanaf grote afstand een baksteen in een zwart gat
vallen en diverse kabouters bevinden zich in de buurt van het
zwarte gat.
Iedere kabouter staat op een raketmotor, want anders zou hij direct in het
zwarte gat verdwijnen, en is daardoor een stationaire
waarnemer [Engels: hovering observer of shell observer].
De raketmotor is zo afgesteld dat de zwaartekracht van het
zwarte gat precies gecompenseerd wordt en daardoor blijft
de kabouter op dezelfde positie.
Met welke snelheid zien de kabouters de baksteen passeren?
In
dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen
die in een niet-roterend
zwart gat valt.
Vergelijking (6) van die pagina geeft de snelheid:
Echter, dit is de snelheid van de baksteen voor een waarnemer ‘ergens ver weg’ (in dit geval ben ik dat, de persoon
die de baksteen loslaat) en nu willen we de snelheid weten ‘ter plekke’, dus zoals waargenomen door de kabouters.
In hun referentiesysteem is de snelheid:
Hierin zijn τ en ρ de tijd- en plaatsvariabelen van de kabouters.
Ik haal even de Schwarzschild-oplossing
(oftewel de Schwarzschild-metriek) op, want die is hier van toepassing:
Voor een stationaire waarnemer, een kabouter, geldt dr = 0, dφ = 0 en dθ = 0, want hij is immers stationair:
Voor iedere kabouter geldt ook, stationair of niet, dat er alleen maar tijd verstrijkt, zijn
eigentijd τ:
Dit vul ik in in vergelijking (4):
Stel dat zich twee kabouters ‘boven elkaar’ bevinden, dus dφ = 0 en dθ = 0, en ze laten allebei een lampje
flitsen.
En stel dat het tijdsverschil tussen de beide flitsen voor een verre waarnemer nul is, dt = 0, dan geldt:
Omdat dt = 0 moet volgens vergelijking (6) ook gelden dat dτ = 0.
Het verschil in afstand tussen de beide kabouters, zoals zij dat ter plekke met een meetlat meten, is dan:
Dit vul ik in in vergelijking (7):
Het is bijzonder (vind ik) hoe oneindig veel gemakkelijker het is om je voor te stellen dat twee kabouters zich
handhaven op dezelfde positie en vervolgens vergelijking (6) af te leiden, dan om je voor te stellen dat twee
kabouters zich handhaven op hetzelfde tijdstip en vervolgens te komen tot vergelijking (9).
Dat heeft er natuurlijk alles mee te maken dat wij in ons dagelijks leven wel voorbeelden zien dat iemand niet
beweegt in de ruimte, maar niet dat iemand niet beweegt in de tijd.
Terwijl, als je de vergelijkingen (6) en (9) zo bekijkt zien ze er heel logisch en complementair uit, maar om
vergelijking (9) op een natuurlijke en logische manier boven water te krijgen is een hele lastige (hierboven
haalde ik er twee flitsende lampjes bij en dat vind ik nog wel de overtuigendste).
In de literatuur zie je dan ook de wonderbaarlijkste redeneringen om tot vergelijking (9) te komen en veel
auteurs doen niet eens een poging en gooien het er zo in.
Door de vergelijkingen (1), (2), (6) en (9) te combineren vind ik tenslotte de snelheid waarmee de kabouters de
baksteen zien passeren:
Ik laat de baksteen in het
zwarte gat vallen, dus ik
gooi niet in deze of gene richting, er is radiële inval, en daarom is het impulsmoment gelijk aan nul (J = 0):
Ik laat de baksteen ‘gewoon’ los vanuit een positie ‘ver weg’, dus de beginsnelheid is nul.
Oftewel, v = 0 voor r = ∞:
Hiermee wordt vergelijking (11):
Ik breng de
Schwarzschild-straal
even in herinnering, de straal van een
zwart gat:
Hiermee wordt vergelijking (13) tenslotte:
Het is nu uiteraard tijd voor een grafiek.
Ik stel R
s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het
centrum van het
zwarte gat uitgezet in
Schwarzschild-stralen) en c = 1
(dit betekent dat verticaal de snelheid staat uitgezet als fractie van de lichtsnelheid).
Ik zet de negatieve snelheid uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt.
De grafiek van −v (r)
De vorige grafiek begon bij 40
Schwarzschild-stralen vanaf de
horizon en ik zoom even in vanaf
10
Schwarzschild-stralen
vanaf de
horizon.
De grafiek van −v (r)
De kabouters zien de baksteen met exact de lichtsnelheid door de
horizon gaan.
Let wel, dat is alleen het geval indien ze zich daar ook precies bevinden en dat is onmogelijk, want dan zou
hun raketmotor hen moeten versnellen tot de lichtsnelheid om te voorkomen dat ze in het
zwarte gat verdwijnen en dat kan niet.
Oftewel, de kabouters zien de baksteen met de lichtsnelheid door de
horizon gaan in het
limietgeval dat ze
zich daar ook werkelijk bevinden.
Omdat de
horizon onbereikbaar is voor de
kabouters (en voor iedereen) en ze slechts tot op enige afstand kunnen naderen zullen ze de baksteen altijd
met een snelheid net onder de lichtsnelheid voorbij zien komen.