De integraal van
f (x) = 1/xm eax

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/xm eax

De grafiek van f (x) = 1/xm eax voor m = 1 (de rode lijn),
m = 2.5 (de groene lijn) en m = 4 (de blauwe lijn), a = 1

Taylor

Deze functie is in deze vorm niet te integreren en daarom wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

De integraal wordt dan:
Merk op dat het afsplitsen van die ene term die tot de natuurlijke logaritme leidt alleen nodig is indien m een geheel getal is. In alle andere gevallen is dat niet nodig en wordt de oplossing van de integraal simpelweg:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:

De grafiek van F (x) voor m = 1 (de rode lijn),
m = 2.5 (de groene lijn) en m = 4 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen
Dat de ene reeks, met de natuurlijke logaritme, overgaat in de andere reeks zal ik illustreren met enkele extra grafieken. In de onderstaande twee grafieken, van f (x) en F (x), ligt m in de buurt van één.

De grafiek van f (x) = 1/xm eax voor m = 0.5 (de rode lijn), m = 0.9 (de oranje lijn),
m = 1 (de groene lijn), m = 1.1 (de paarse lijn) en m = 1.5 (de blauwe lijn), a = 1

De grafiek van F (x) voor m = 0.5 (de rode lijn), m = 0.9 (de oranje lijn),
m = 1 (de groene lijn), m = 1.1 (de paarse lijn) en m = 1.5 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen
Ik zal m nog wat dichter naar één laten naderen:

De grafiek van f (x) = 1/xm eax voor m = 0.9 (de rode lijn), m = 0.99 (de oranje lijn),
m = 1 (de groene lijn), m = 1.01 (de paarse lijn) en m = 1.1 (de blauwe lijn), a = 1

De grafiek van F (x) voor m = 0.9 (de rode lijn), m = 0.99 (de oranje lijn),
m = 1 (de groene lijn), m = 1.01 (de paarse lijn) en m = 1.1 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen
En zo ziet F (x) er dan uit voor grotere waarden van x.

De grafiek van F (x) voor m = 0.9 (de rode lijn), m = 0.99 (de oranje lijn),
m = 1 (de groene lijn), m = 1.01 (de paarse lijn) en m = 1.1 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen