Om te beginnen ga ik eerst tien afgeleiden bepalen: Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0: De polynoom-coëfficiënten worden dan: De regelmaat hierin is: Hetgeen ons brengt bij deze reeks: Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard): Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit: Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < 1. Hier hoort wel een kanttekening bij, want indien p een positief geheel getal is dan levert de reeks hetzelfde op als wanneer je simpelweg de haakjes weg zou werken. In dat geval is er helemaal geen beperking voor de waarde van x, de reeks werkt altijd. Ik heb hierboven ook de limiet genomen voor n gaat naar oneindig, maar in het geval dat p een positief geheel getal is dan zijn er slechts p + 1 termen en is het onzinnig om de limiet te nemen voor n gaat naar oneindig want voor n > p + 1 is iedere term gelijk aan nul. Kortom, de zojuist gevonden convergentiebeperking geldt alleen indien p geen positief geheel getal is. Ik zoom nog even in op het convergentiegebied.