Dit vraagstuk gaat over de wonderschone dans der planeten. Van alle wiskundige problemen is dit ongetwijfeld één van de allermooiste en het laat op vele momenten de schoonheid van de wiskunde zien. Het perihelium, het punt van dichtste nadering tot de Zon, van de planeet Mercurius verschuift, bij iedere omloop van de planeet om de Zon, een klein beetje als gevolg van de zwaartekracht die de overige planeten op Mercurius uitoefenen. Dit verschuiven van het perihelium noemen we periheliumprecessie.

Voor de berekeningsmethode volg ik de methode van Gauss zoals hij die in 1818 uitgedacht heeft. Deze methode is later, voor praktisch gebruik (rekenlinialen en logaritmetabellen), in enkele stappen verder uitgewerkt door George Hill tijdens de tweede helft van de negentiende eeuw en tenslotte toegepast door Eric Doolittle in 1912. Doolittle heeft de volledige berekening uitgevoerd van de verstoringen die de planeten Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus (de dwergplaneet Pluto was toen nog niet ontdekt) uitoefenen op de baan van Mercurius. Dit gebeurde met pen en papier, want computers bestonden er toen nog niet. Helaas vermeldt het verhaal niet hoeveel mensen er daadwerkelijk bezig geweest zijn, en hoe lang, om dit intense monnikenwerk uit te voeren.

• Geïnteresseerd in het oorspronkelijke artikel? Stuur mij dan een email (karel@voorbijeinstein.nl) met als onderwerp “PDF bestand 020204000006” en ik stuur je de file (gratis) toe.
  Opmerking: ik kan inderdaad ook zorgen dat je het artikel rechtstreeks van mijn website kunt downloaden, maar dan schend ik auteursrechten.

Omdat dit mercuriusvraagstuk nogal een uitgebreid verhaal is heb ik het onderverdeeld in vier hoofdstukken (als je de wiskunde wilt overslaan dan raad ik aan om gelijk naar hoofdstuk drie te gaan):

1. Afleiding van de vergelijkingen
2. Hoe de berekening uit te voeren
3. Berekeningen en resultaten
4. Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

---

Afleiding van de vergelijkingen

1. Afleiding van de vergelijkingen
2. Hoe de berekening uit te voeren
3. Berekeningen en resultaten
4. Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

Ik maak gebruik van de vergelijkingen die ik heb afgeleid op de pagina’s hemelmechanica en seculaire verstoringen (ik ga hierna ook refereren aan deze pagina’s).

Om te beginnen grijp ik terug op vergelijking (36) van de pagina seculaire verstoringen, want dat is de vergelijking die aangeeft hoe je de periheliumprecessie moet berekenen en daarom tevens mijn startpunt: De vergelijkingen (7) van de pagina seculaire verstoringen zijn de componenten van de verstorende kracht in het x^*-y^*-z^*-stelsel als functie van de componenten van de verstorende kracht in het x-y-z-stelsel (in de kracht in de z^*-richting zijn we niet geïnteresseerd omdat die geen invloed heeft op de periheliumprecessie, zie de vergelijking hierboven): De componenten van de verstorende kracht in het x-y-z stelsel kennen we ook (de vergelijkingen (4) van de pagina seculaire verstoringen): Waarbij voor de verstoringsfunctie Θ geldt (vergelijking (17) van de pagina hemelmechanica): Om de periheliumprecessie te berekenen zal vergelijking (1) geïntegreerd en gemiddeld moeten worden over een totale omloop van m₁: Middels vergelijking (88) van de pagina hemelmechanica maakten we kennis met de middelbare anomalie: Hierin is n de gemiddelde dagelijkse beweging. Indien ik over een totale omloop praat dan staat er dus: Door de differentiaal te nemen van (6) ontstaat: Door de vergelijkingen (7) en (8) te combineren krijg ik: En dit vul ik in in (5): Volgens vergelijking (89) van de pagina hemelmechanica kunnen we M schrijven als functie van de excentrische anomalie E als volgt: Waardoor (10) overgaat in: Op deze manier vinden we per saldo de periheliumprecessie nadat planeet p₁ één omloop heeft voltooid. Maar terwijl p₁ een omloop aflegt zijn de verstorende planeten uiteraard ook bezig met hun omlopen om de Zon. Dus de hoek E varieert, maar tegelijkertijd varieert ook de hoek E van iedere verstorende planeet. Dit vereist dat we dat in vergelijking (12) gaan inbrengen. Om te beginnen gaan we uit van één verstorende planeet, p₂, waardoor de verstoringsfunctie Θ wordt: Het optellen van de invloeden van de diverse planeten (het sommeringsteken dat er eerst nog bij stond) stellen we uit tot later waardoor (12) wordt: Dat sommeringsteken ga ik niet de hele tijd meeslepen, dus die haal ik gelijk weer weg want het is nogal wiedus dat we aan het eind de verstorende invloeden van alle planeten bij elkaar op moeten tellen. En ik moet nauwkeuriger worden in mijn aanduidingen van wat er bij p₁ respectievelijk p₂ hoort door het toevoegen van indices: We hebben dus een planeet, p₁, die de verstorende invloed ondergaat en één planeet, p₂, die de verstorende invloed uitoefent. Deze verstorende invloed is recht evenredig met de massa van p₂ (zie vergelijking (13)). Ik stel het volgende: Oftewel, de linkerleden van de bovenstaande drie vergelijkingen zijn de componenten van de verstorende kracht die teweeg gebracht worden door één kilo m₂. Vervolgens smeer ik de planeet p₂ uit over zijn gehele baan. Er ontstaat daardoor een infinitesimaal dunne (oneindig dunne) elliptische ring met de magische eigenschap dat de dichtheid van de ring op ieder punt evenredig is met de tijd dat de niet-uitgesmeerde-planeet in dat deel van de ring doorbrengt (niet nadenken hoe zoiets in de praktijk verwezenlijkt zou kunnen worden, dat doet nu niet ter zake, dit is wiskunde). Daardoor geldt: De verstorende kracht die ieder infinitesimale stukje ring uitoefent is: Door te integreren krijg ik de verstorende invloed die de totale ring uitoefent op p₁: Vervolgens breng ik vergelijking (17) in: Kortom, we doen de werkelijkheid geen enkel geweld aan door p₂ uit te smeren over de baan die p₂ doorloopt. Met behulp van (9) en (11) kunnen we de vergelijkingen (20) omschrijven als volgt: Hierdoor wordt vergelijking (15): De vergelijkingen (85) van de pagina hemelmechanica leerden ons hoe we r kunnen schrijven als functie van de excentrische anomalie E, al dan niet in combinatie met de werkelijke anomalie θ: Voor latere doeleinden schrijf ik (23b) nog iets anders op: Vergelijking (23a) stelt ons in staat om (22) als volgt te schrijven: Ik licht die twee binnenste integralen er uit: Vergelijking (24) ziet er dan zo uit: Volgens de vergelijkingen (16) van de pagina hemelmechanica kunnen we de componenten van de verstorende kracht in het x-y-z-stelsel ook als volgt schrijven (waarbij ik uitga van één verstorende planeet, p₂, en ik vermenigvuldig ook nog met m₁ omdat de vergelijkingen uit versnellingen bestaan en ik wil daar krachten van maken): Ik wil het even hebben over de rechtertermen van de bovenstaande vergelijkingen, om te beginnen de rechterterm van de x-component en die ga ik integreren en middelen over één omloop van p₂: Omdat we het hier over krachten hebben moet het deel binnen de integraal een versnelling zijn en kan ik dus ook schrijven: De snelheid van p₂ is op t = 0 en één omloop verder op t = T niet veranderd en dus levert het antwoord van de integraal nul op. De rechtertermen van de vergelijkingen (27) kunnen in deze berekening daarom weggelaten worden (of heel netjes gezegd: ze leveren geen bijdrage aan de seculaire verstoring), en dat levert voor de componenten van de verstorende kracht de volgende eenvoudiger vergelijkingen op: We hebben voor wat betreft de componenten van de verstorende kracht dus alleen rekening te houden met de rechtstreekse aantrekking tussen p₁ en p₂. Ik heb daar even een plaatje van gemaakt: De vergelijkingen (6) van de pagina seculaire verstoringen geven aan hoe we x-y-z-coördinaten kunnen omrekenen naar x^*-y^*-coördinaten: Door dit te combineren met (30) levert dat het volgende op: Ik ga gebruik maken van het inwendig product van twee vectoren A en B: Hiermee kan ik (32) omschrijven als volgt: Hetgeen we ook relatief simpel kunnen aflezen uit figuur 2. Ik ga op zoek naar de andere component van de verstorende kracht waarbij ik onderweg gebruik maak van de verschilformules (van twee willekeurige hoeken) uit de goniometrie: En ook dit leest gemakkelijk af uit figuur 2. Voor de totale verstorende kracht geldt uiteraard:

Hier verschijnt uiteraard weer de zwaartekrachtwet van Newton en op deze manier heb ik gecontroleerd dat we nog op het goede spoor zitten. Ik heb tijdens deze laatste afleiding trouwens gebruik gemaakt van de cosinusregel.

Ik heb nogmaals de baan van p₁ getekend met daarin de knopenlijn (de blauwe lijn), maar ditmaal zijn de knopen niet de plaatsen waar p₁ door het eclipticavlak gaat maar waar p₂ door het baanvlak van p₁ gaat (dus eigenlijk mag ik in dit geval de knopenlijn helemaal geen knopenlijn noemen): Van deze knopenlijn maak ik een nieuwe X-as, en loodrecht daarop komt een nieuwe Y-as: Met de apsidenlijn als x-as kan ik voor r₁ schrijven: Maar met de knopenlijn als X-as wordt dat: De X-Y-Z-coördinaten van p₁ zijn dan: Ik kan uiteraard ook de X-Y-Z-coördinaten van p₂ opschrijven. De baanvlakken van p₁ en p₂ delen de X-as, want dat is immers de snijlijn van beide baanvlakken. Echter, het baanvlak van p₂ staat schuin onder een hoek i₂₁ ten opzichte van het baanvlak van p₁ dus daar moet ik even goed op letten: In vergelijking (34a) zit het inwendig product verstopt die mij heel gemakkelijk leidt naar de cosinus van de hoek tussen r₁ en r₂: En in vergelijking (34b) zit het uitwendig product verstopt die mij heel gemakkelijk leidt naar de sinus van de hoek tussen r₁ en r₂: Ik ga wat extra constanten in het leven roepen: Door (42b) te delen door (42a), en (42d) door (42c), kan ik c₁₂ en c₂₂ berekenen: En (42a) en (42d) stellen mij daarna in staat om c₁₁ en c₂₁ te berekenen: Hiermee kan ik de vergelijkingen (40) en (41) omschrijven als volgt: Dit stoppen we vervolgens in de vergelijkingen (34): Je vraagt je misschien af of ik wel bezig ben om naar een oplossing toe te werken, maar dat is toch echt wel het geval. Sterker nog, we beginnen al redelijk in de buurt te komen. Met behulp van (23b) en (23c) veranderen de vergelijkingen (45) in: Ik heb in de teller nu nog maar één variabele (voor de eerste integratie): E₂! Voor de overzichtelijkheid haal ik er nog een stel hulpvariabelen bij: Waarmee de vergelijkingen (46) een stuk overzichtelijker worden: Nu moet ik nog met de noemer aan de slag. Met behulp van de cosinusregel kan ik voor r₂₁ schrijven: En met behulp van vergelijking (43) wordt dit: De vergelijkingen (23) stellen mij in staat de volgende stap te maken: Ik haal er nog maar een stel hulpvariabelen bij: Waarmee (51) wordt: Nu heb ik ook de noemer uitgedrukt in de variabele E₂. Dit stop ik in de vergelijkingen (48): En dit stop ik vervolgens in de integralen van de vergelijkingen (25): Het zeer goede nieuws is dat beide integralen dezelfde noemer hebben! Ik stel voor het gemak even: Dan kan ik de integralen I₁ en I₂ als volgt schrijven: Ik stel: En dit stop ik allemaal weer terug in vergelijking (26): De twee integralen I₁ en I₂ zijn weer samengevoegd tot één integraal! Ik neem de teller daarvan apart en ik ga de haken wegwerken: Dit vraagt gewoon om nog meer hulpvariabelen: Hiermee kan ik (59) schrijven als volgt: Nu hebben we weliswaar maar liefst vijf integralen, maar de oplossingen daarvan kunnen we allemaal vinden in de tabel met integralen:

• XX
• XX
• XX
• XX
• XX

Het resultaat van de eerste keer integreren wordt aldus: Wat een zooitje hè, maar we hebben wel een exact antwoord!

Ik stel: Hiermee wordt vergelijking (63): En ik stel ook nog: Hiermee wordt vergelijking (65): De grootste horde is nu genomen, maar er rest nog een tweede integraal. Ik heb zojuist geïntegreerd naar E₂ en nu moet ik nog integreren naar E₁. Daarvoor zal ik mij moeten wenden tot een numerieke integratiemethode, want de variabele E₁ zit inmiddels diep verweven in het bovenstaande tussenresultaat. Dat is in dit geval helemaal niet erg, want ik hoef maar weinig integratieintervallen te berekenen om tot een nauwkeurig antwoord te komen. Zo wordt vergelijking (67): Hierin is c₈₁-met-een-streepje-erboven de gemiddelde waarde van c₈₁ voor alle waarden van E₁. Nu ga ik nog even knutselen met die breuk met al die constanten die er voor staat. Voor k' geldt (vergelijking (20) van de pagina seculaire verstoringen): En voor p₁ geldt (vergelijking (57) van de pagina hemelmechanica): Ik pak ook de complementaire excentriciteit er bij (vergelijking (77d) van de pagina hemelmechanica): En de gemiddelde dagelijkse beweging (vergelijking (82) van de pagina hemelmechanica): Dit ga ik allemaal invullen in die breuk van vergelijking (68) en die geef ik gelijk een naampje: Waarmee vergelijking (68) uiteindelijk wordt: Hier wil ik enkele opmerkingen over maken:

• Ik heb de gemiddelde dagelijkse beweging ingebracht in de constante K₁, maar dat hoeft natuurlijk niet. Ik kan K₁ ook volledig uitdrukken in de baanelementen van een planeet, maar ergens moet een omrekening plaatsvinden van radialen per jaar naar boogseconden per tropische eeuw hier op Aarde (periheliumprecessie wordt doorgaans uitgedrukt in boogseconden per eeuw). Dit zit allemaal ‘verstopt’ in de gemiddelde dagelijkse beweging.
• De complete elliptische integralen hebben als grenzen 0 en π/2 terwijl we over een hele planeetomloop willen integreren, zijnde van 0 tot 2π, daarom moet het uiteindelijke antwoord (vergelijking (74)) nog met vier vermenigvuldigd worden.
• Bovendien moet ik de berekening telkens opnieuw uitvoeren voor iedere verstorende planeet en alle resultaten bij elkaar optellen.

Daarom is dit het lang gezochte resultaat: Dus kunnen we dan nu eindelijk ‘echt’ gaan rekenen? Nee, er is nog één akkefietje dat uitgezocht moet worden. Want om te kunnen rekenen hebben we de baanelementen nodig van de planeten:

• de halve lange baanas: a,
• de numerieke excentriciteit, of kortweg excentriciteit: e,
• de inclinatiehoek, of kortweg inclinatie of baanhelling: i,
• de hoek tussen de klimmende knoop en het perihelium, oftewel het argument van het perihelium: ω,
• de hoek tussen het lentepunt en de klimmende knoop, oftewel de lengte van de klimmende knoop: Ω,
• het tijdstip t waarvoor de bovenstaande vijf parameters gelden, de epoche: t.

Echter, deze baanelementen worden allemaal gegeven ten opzichte van het eclipticavlak, het vlak waar de Zon en de Aarde in bewegen. En omdat we voor dit specifieke probleem te maken hebben met Mercurius en een andere planeet zullen we twee baanelementen moeten omrekenen:

• de inclinatiehoek: i,
• het argument van het perihelium: ω.

Ik heb een plaatje gemaakt van de situatie: Hierin is Ω₁ waar Mercurius door het eclipticavlak gaat, Ω₂ is waar de verstorende planeet door het eclipticavlak gaat, i₁ is de inclinatiehoek van het baanvlak van Mercurius ten opzichte van het eclipticavlak en i₂ is de inclinatiehoek van het baanvlak van de verstorende planeet ten opzichte van het eclipticavlak. Ik ga nu de inclinatiehoeken aan de andere kant van de klimmende knopen aangeven: De klimmende knopen zijn hoeken gemeten vanaf het lentepunt. Het verschil van beide is de hoek die ingesloten wordt door beide en die noem ik Ω₂₁: En zo zijn er nog twee ingesloten hoeken, namelijk tussen de beide klimmende knopen en de klimmende knoop die beide baanvlakken onderling maken, die noem ik ε₁ en ε₂: Nu heb ik perfect een boldriehoek in kaart gebracht en hierop ga ik de rekenregels voor de boldriehoek toepassen. Als eerste de cosinusregel voor de hoeken: En zo kom ik i₂₁ te weten. Vervolgens pak ik de sinusregel voor de boldriehoek en die gebruik ik tweemaal om ε₁ en ε₂ te berekenen: Verder weet ik dat de argumenten van beide perihelia gemeten zijn vanaf de klimmende knopen door het eclipticavlak. Gemeten vanaf de onderlinge knoop Ω geldt dan voor Mercurius (want Ω is voor Mercurius de klimmende knoop): De onderlinge knoop Ω is voor de verstorende planeet echter de dalende knoop. Voor het argument van het perihelium van de verstorende planeet geldt daarom: Tenslotte wil ik nog opmerken dat in tabellen met baanelementen regelmatig in plaats van het argument van het perihelium de lengte van het perihelium gegeven wordt. Deze zijn in elkaar om te rekenen als volgt: Nu kunnen we eindelijk echt gaan rekenen.

---

Hoe de berekening uit te voeren

1. Afleiding van de vergelijkingen
2. Hoe de berekening uit te voeren
3. Berekeningen en resultaten
4. Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

Allereerst zoeken we de gegevens op van de diverse planeten, per planeet hebben we de volgende baanelementen nodig:

• de halve lange baanas: a,
• de excentriciteit: e,
• de inclinatiehoek: i,
• het argument van het perihelium: ω,
• de lengte van de klimmende knoop: Ω

Nu ga ik de totale berekening doornemen voor Mercurius en één verstorende planeet. Helemaal aan het einde tel ik dan de resultaten op voor alle planeten samen. Bovendien moet ik onderstaande berekening doen voor iedere waarde van E₁, want de integratie naar E₁ gaat via numerieke integratie, oftewel via een reeks kleine stapjes (lees: allemaal verschillende waarden voor E₁ in een bepaald aantal intervallen van 0 tot 360 graden).

Allereerst reken ik, indien nodig, de lengte van het perihelium om naar het argument van het perihelium: Daarna bereken ik p en de complementaire excentriciteit van beide planeten: En tevens de verschilhoek tussen de beide lengtes van de klimmende knoop: Hiermee kan ik de onderlinge inclinatiehoek berekenen: Daarna bereken ik ε₁ en ε₂: Hieruit volgt voor de argumenten van de perihelia: En die gaan vanaf nu verder door het leven als ω₁ en ω₂, dus zonder apostroph. Nu kunnen c₁₂ en c₂₂ berekend worden: En die dienen als opstapje naar c₁₁ en c₂₁: Vervolgens bereken ik de afstand r₁: En de werkelijke anomalie θ₁: Dit maakt de weg vrij naar de berekening van de volgende variabelen: En dat maakt op zijn beurt weer de weg vrij naar de berekening van deze variabelen: Hetgeen ons brengt bij: Nu duik ik in de uitwerking van de integraal en zoals gezegd vind je dat terug in de tabel met integralen: Hierbij geldt dat a = c₄₁, b = c₄₂, c = c₄₃, d = c₄₄ en e = 0. Daar gaan we dan, om te beginnen normaliseer ik de noemer: Daarmee kan ik de volgende stap maken: En de volgende stap: Zodat ik de volgende hoek kan uitrekenen: Hiermee kan ik de nulpunten berekenen van de derdegraads vergelijking die ik onderweg tegenkom: Daarmee kan ik de volgende variabelen berekenen: Hetgeen mij in staat stelt om de variabelen α, β en γ en de diverse kruisproducten uit te rekenen: En dat maakt de weg vrij naar deze variabelen: Waarmee ik deze twee variabelen kan berekenen:

Dan zijn nu de complete elliptische integraal van de tweede soort en de complete elliptische integraal van de eerste soort aan de beurt volgens deze Taylor-reeksen:

Waaruit volgt: En omdat: Zo kom ik tenslotte bij: Twee opmerkingen omtrent de berekeningen:

• in twee gevallen heb ik bij een hoek (een veelvoud van) π opgeteld of afgetrokken om in het juiste kwadrant te blijven,
• de halve lange baanas is genormaliseerd naar astronomische eenheden (AE).

Dan kunnen we nu Excel aan het werk zetten.

---

Berekeningen en resultaten

1. Afleiding van de vergelijkingen
2. Hoe de berekening uit te voeren
3. Berekeningen en resultaten
4. Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

Ik heb allereerst de berekeningen van Doolittle overgedaan met zijn gegevens: Onderstaande tabel geeft de resultaten weer van Doolittle en mij:

	Doolittle	De Vlieger	Doolittle/De Vlieger
Venus	277.636150000	277.634760890	1.000005003
Aarde	91.448833000	91.448814834	1.000000199
Mars	2.486334300	2.486334414	0.999999954
Jupiter	154.007200000	154.007183099	1.000000110
Saturnus	7.312262700	7.312266261	0.999999513
Uranus	0.142134790	0.142134469	1.000002262
Neptunus	0.041900885	0.041904488	0.999914019
Totaal	533.074815675	533.073398453	1.000002659
Tabel 1: periheliumprecessie van Mercurius [boogseconden/eeuw]

Zoals ik in het begin al vertelde hebben Hill en Doolittle zich in allerlei bochten gewrongen om deze berekening te optimaliseren bij afwezigheid van computers. Concreet betekent dit:

• ik heb de nulpunten van de derdegraads vergelijking echt uitgerekend terwijl Doolittle dit via een iteratieproces heeft gedaan,
• de tweede integratieslag werd door Doolittle gedaan met 8, 12 of 16 intervallen, terwijl ik standaard 48 intervallen heb gebruikt,
• respect voor Hill en Doolittle, het uiteindelijke resultaat uit 1912 wijkt minder dan drie-miljoenste af van het moderne high-tech Excel-antwoord!

In 2005 verscheen een artikel van Melbourne Stewart, hij gebruikte een andere methode voor deze berekening (namelijk via de Laplace-Runge-Lenz-vector). Ik ga ook een vergelijking maken met zijn resultaten, maar helaas geeft Stewart zijn resultaten slechts met twee cijfers achter de komma.

Onderstaande tabel geeft de resultaten weer van Stewart en mij:

	Stewart	De Vlieger	Stewart/De Vlieger
Venus	277.42	277.36	1.000216
Aarde	90.88	90.86	1.000220
Mars	2.48	2.48	1.000000
Jupiter	153.95	153.92	1.000195
Saturnus	7.32	7.32	1.000000
Uranus	0.14	0.14	1.000000
Neptunus	0.04	0.04	1.000000
Totaal	532.23	532.14	1.000169
Tabel 2: periheliumprecessie van Mercurius [boogseconden/eeuw]

Ik was verbaasd dat mijn resultaten en die van Stewart niet beter met elkaar overeenstemmen (het scheelt weliswaar minder dan 0.2 promille, maar toch). Het artikel van Stewart is uitermate summier en daarom gaf mij dat geen inzicht in de verklaring van het verschil. Vervolgens heb ik meneer Stewart een email gestuurd in de hoop dat dat mij verder kon helpen. Dit was zijn antwoord:

Dear de Vlieger, I’m afraid I can’t be of much help in explaining why your calculation and my calculation agree to only 2 parts in 10,000. I can’t redo the calculations since they were run (using Fortran) on an old computer that is no longer functional. My best guess is that I just didn’t carry the calculations to the accuracy that you have done. And I didn’t preserve the calculations in the very nice format that you have done in your manuscript. I am sorry that I can’t be more definitive than that. Sincerely, Melbourne G Stewart Professor of Physics Emeritus Department of Physics Wayne State University Detroit, Michigan

Beste de Vlieger, Ik ben bang dat ik niet veel kan helpen in het verklaren waarom uw berekening en mijn berekening met elkaar overeenkomen tot slechts 2 delen in 10000. Ik kan de berekeningen niet overdoen, omdat ze uitgevoerd zijn (met gebruik van Fortran) op een oude computer die niet langer in gebruik is. Mijn beste inschatting is dat ik de berekeningen gewoon niet met die nauwkeurigheid heb uitgevoerd die u hebt gebruikt. En ik heb de berekeningen niet bewaard in het hele overzichtelijke formaat dat u hebt gebruikt in uw verhaal. Het spijt me dat ik niet eenduidiger kan zijn dan dit. Hoogachtend, Melbourne G Stewart Professor of Physics Emeritus Department of Physics Wayne State University Detroit, Michigan

---

Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

1. Afleiding van de vergelijkingen
2. Hoe de berekening uit te voeren
3. Berekeningen en resultaten
4. Geschiedenis, conclusie en vooruitblik

Het was de Fransman Urbain Le Verrier die in 1841 als eerste opmerkte dat er een afwijking zat in de baan van de planeet Mercurius, een afwijking die men destijds (met de wetten van Newton) niet kon verklaren. Er zat destijds ook een afwijking in de baan van de planeet Uranus en Le Verrier ging ook hieraan rekenen. Hij ging ervanuit dat een nog onbekende planeet aan Uranus trok en berekende waar die planeet zich dan zou moeten bevinden. Toen hij daarmee klaar was werden deze coördinaten doorgegeven aan een sterrenwacht die dezelfde avond nog de nieuwe planeet aantrof op (nagenoeg) de voorspelde positie. Dit sterkte Le Verrier uiteraard in zijn overtuiging dat er bij Mercurius ook iets dergelijks aan de hand moest zijn. Hij rekende nog een aantal jaren stevig door en publiceerde in 1859 een uitgebreid artikel over zijn werk waaruit ondubbelzinnig bleek dat de omloop van Mercurius niet klopte met de theorie: per eeuw precesseerde Mercurius 38 boogseconden te veel. Simpel gezegd: een Mercuriusjaar was ruim een halve seconde te vroeg afgelopen. En een halve seconde is voor een wetenschapper genoeg om uuuuuuuuuuuren wakker van te liggen.

De Canadees Simon Newcomb doet het huiswerk van Le Verrier nog eens dunnetjes over en kan alleen maar beamen dat de Fransman volkomen gelijk heeft. En passant stelt hij het resultaat van Le Verrier bij van 38 naar 43 boogseconden per eeuw. Er wordt druk gespeculeerd over een mogelijke oorzaak. Le Verrier hypothetiseert in zijn artikel over een asteroïdengordel tussen Mercurius en de Zon (“tels groupes d’astéroïdes existent aussi plus près du Soleil”) en in 1860 bezoekt hij een Franse amateurastronoom die een planeetovergang (een planeet die vanaf de Aarde gezien voor de Zon langs trekt) meent te hebben waargenomen. De planeet krijgt prompt een naam, Vulcanus, maar de claim wordt nimmer bevestigd. Tot zijn dood in 1877 blijft Le Verrier geloven in een bepaalde massa tussen Mercurius en de Zon die de precessie zal verklaren.

Het is Albert Einstein die in 1915 met zijn algemene relativiteitstheorie het precessieverschil verklaart: kromming van de ruimtetijd veroorzaakt door de energie van de Zon. Einstein leidt in zijn artikel de volgende vergelijking af (deze oplossing van Einstein is een eerste orde benadering van het probleem, ik heb ook de tweede orde benadering uitgerekend, maar dat leverde geen significante extra term op):

Het sommetje dat je veel aantreft in boeken en op internet is het volgende: Of iets anders geformuleerd: Vergelijking (81) is eenvoudig uit te rekenen en geeft als antwoord ε = 43 boogseconden per eeuw, precies het onverklaarde precessiedeel! Hiermee wordt het bovenstaande sommetje: Deze uitleg, dit sommetje, kom je veel tegen en daarmee lijkt de kous af. De algemene relativiteitstheorie is bewezen en de baan van Mercurius is verklaard, twee vliegen in één klap. Toch houdt dit nog wel de gemoederen bezig, en wel om twee redenen:

• de klassieke precessie is zeer moeilijk uit te rekenen (zoals uit al het voorgaande mag blijken),
• de totale precessie is nog moeilijker te meten.

Waarschijnlijk omdat de precessie zo moeilijk is uit te rekenen, doet het merkwaardige feit zich voor dat er in de geschiedenis van de mensheid meer mensen op de Maan hebben gelopen dan dat er mensen gerekend hebben aan deze klassieke (niet-relativistische) precessie. Wanneer je gaat zoeken op internet dan zul je ook merken dat er niet één webpagina is die in detail uit de doeken doet hoe je deze precessie berekent. Deze pagina, die je nu aan het lezen bent, is de eerste en tot nu toe de enige.

Even een historisch overzicht:

• 1841: Le Verrier berekent als eerste de klassieke precessie en stelt vast dat die niet overeenkomt met de waarnemingen.
• 1859: Le Verrier heeft zijn berekeningen verfijnd/verbeterd en stelt het precessieverschil op 38 boogseconden per eeuw.
• 1895: Newcomb doet de berekeningen van Le Verrier over en stelt het precessieverschil bij naar 43 boogseconden per eeuw.
• 1912: Doolittle berekent de precessie, maar met een andere methode (de Gauss-integraal).
• 1915: Einstein verklaart met zijn algemene relativiteitstheorie precies de 43 boogseconden per eeuw en de hele kwestie verdwijnt daarna uit de aandacht.
• 1947: Clemence publiceert een kort artikel met nieuwe precessiedata door uit te gaan van de berekeningen van Doolittle en die aan te passen middels nieuwere/betere massagetallen van de diverse planeten (wonderbaarlijk genoeg is het dit artikel waar Wikipedia aan refereert als bewijs voor de algemene relativiteitstheorie).
• 1979: Price en Rush publiceren een artikel met fundamentele fouten in de vergelijkingen die zij afleiden, maar door puur toeval komen zij tot een goed antwoord.
• 2005: Stewart berekent de precessie (93 jaar na Doolittle!), maar met een andere methode (de Laplace-Runge-Lenz-vector).
• 2017: De Vlieger berekent de precessie, weer met de Gauss-integraal maar met de meest actuele baanelementen en een hogere nauwkeurigheid (door het gebruik van de computer).

De resultaten van al dit werk heb ik samengevat in onderstaande tabel:

	Le Verrier (1841)	Le Verrier (1859)	Newcomb (1895)	Doolittle (1912)	Clemence (1947)	Stewart (2005)	De Vlieger (2017)
Venus	287.00	280.60		277.64	277.86	277.42	277.36
Aarde	86.00	83.60		91.45	90.04	90.88	90.86
Mars	3.00	2.60		2.49	2.54	2.48	2.48
Jupiter	158.00	152.60		154.01	153.58	153.95	153.92
Saturnus	8.00	7.20		7.31	7.30	7.32	7.32
Uranus		0.10		0.14	0.14	0.14	0.14
Neptunus				0.04	0.04	0.04	0.04
Totaal	542.00	526.70	532.55	533.07	531.50	532.23	532.14
Tabel 3: overzicht berekende klassieke periheliumprecessie van Mercurius [boogseconden/eeuw]

Echter, een ketting is zo sterk als zijn zwakste schakel. Want het resultaat van bijna twee eeuwen rekenen-aan-Mercurius staat hierboven in een tabel die op een half A4-tje past. Dat is bijzonder mager. Daar komt bovenop dat meetresultaten van de precessie van Mercurius nog veel schaarser zijn (net zoals je op internet geen details vindt betreffende de berekening van de klassieke precessie, vind je daar ook geen meetresultaten). Op internet is er alleen maar een vicieuze cirkel van citeren en geciteerd worden met het inmiddels overbekende rijtje 575 - 532 - 43. Als je gaat opzoeken waar de 575 en de 532 werkelijk vandaan komen wordt het oorverdovend stil.

In de wetenschappelijke literatuur is het niet beter, want voor zover ik kan nagaan is er na Le Verrier één keer gemeten aan de precessie van Mercurius (door Shapiro) en iedereen refereert aan dat resultaat (en ik heb best wel wat boeken aangaande dit onderwerp).

In 2018 wordt BepiColombo gelanceerd die in 2025 bij Mercurius zal arriveren. ESA schrijft hierover het volgende op haar website:

“It will set off in 2018 on a journey to the smallest and least explored terrestrial planet in our Solar System. An ambitious, multi-spacecraft mission to explore the planet Mercury in unprecedented detail is now scheduled for lift-off from Europe’s spaceport at Kourou, French Guiana, in October 2018.”

Ik twijfel er niet aan dat BepiColombo een eersteklas positiebepaler aan boord heeft. Kortom, wetenschap blijft altijd spannend. Weten we over tien jaar eindelijk het exacte antwoord op het Mercuriusprobleem?