Gegeven is dat a > 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksonder (in het derde kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsboven (in het eerste kwadrant).

a < 0

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D negatief is, dus er is één nulpunt.

D < 0

D = 0

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking. Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as. Voor het oplossen van deze integraal maken we maximaal gebruik van de trucendoos. Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren: Ik stel: Hiermee wordt de functie: Ik haal er even wat hulpvariabelen bij: De discriminant is negatief, dus er is één nulpunt. Die kan ik als volgt berekenen: De integraal wordt dan: Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het nulpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel: Hiermee wordt de integraal: Ik stel voor het gemak: Dit substitueer ik in de integraal en ik ga die ene u onder dat wortelteken weghalen: Ik kom alleen maar van die wortel af indien datgene wat onder het wortelteken staat een perfect kwadraat is. Daartoe stel ik: Hier ga ik mee verder knutselen: Nu heb ik een tweedegraads vergelijking in u en die ga ik oplossen. Daarvoor gebruik ik uiteraard de abc-formule: Vervolgens eis ik dat de discriminant gelijk is aan nul, want ik wil immers naar een perfect kwadraat toewerken: Zodat ik voor de oplossingen van u, vergelijking (14), kan schrijven: Ik ga t (vergelijking (12)) differentiëren naar u: Oftewel: De vergelijkingen (12) en (18) substitueer ik in de integraal: Ik ga de volgende twee grootheden berekenen: Vervolgens vermenigvuldig ik vergelijking (20a) met (20b): Hiermee wordt de integraal: Dus we hadden een derdegraads vergelijking in de noemer staan met één nulpunt (om precies te zijn: één reëel nulpunt en twee complexe nulpunten), en nu staat er een derdegraads vergelijking met drie nulpunten! Daar kunnen we mee verder werken.

Dit is ook een goed moment om het eens even over tekens te hebben. De oorspronkelijke derdegraads vergelijking had één nulpunt. Die heb ik uitgedeeld en toen hield ik een tweedegraads vergelijking over die ik daarna in vergelijking (11) compact opgeschreven heb met v en w². Deze tweedegraads vergelijking is een parabool zonder nulpunten en ligt dus geheel boven de horizontale as, en daaruit volgt dat w² > 0 en dus ook dat w > 0 (de optie −w doet niet mee, want het kwadraatje bij de w heb ik alleen maar toegevoegd om de formules mooier uit te laten komen). De discriminant is: Dit moet altijd negatief zijn, want er zijn immers geen nulpunten. Oftewel: Gewapend met deze informatie weet ik dus dat t₁ > 0 en t₂ < 0. Tevens volgt hieruit dat t₂ < t₁. Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het linkernulpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel: Hiermee wordt de integraal: Vervolgens stel ik: Hiermee wordt de integraal: Ik ga gebruik maken van goniometrische substitutie door secans of cosecans: Hiermee wordt de integraal: Ik stel: Hiermee wordt de integraal: Er is een minteken verschenen! De hele tijd lag de functie geheel boven de horizontale as en nu ligt de functie er ineens geheel onder. Dat komt ongetwijfeld doordat ik in de laatste vergelijkingen nogal druk in de weer ben geweest met kwadrateren waardoor er een tekenwisseling is opgetreden. Om deze redenen verwijder ik het minteken: Deze integraal staat te boek als de elliptische integraal van de eerste soort. De oplossing van die integraal kun je elders vinden in de tabel met integralen: Nu moet α uiteraard weer vervangen worden door x: En ik ga m anders opschrijven: Die eerste term van het antwoord neem ik ook nog even onder handen: Om het uiteindelijke antwoord op te schrijven neem ik de reeks met al die sinussen, want die convergeert het beste: Om te voorkomen dat je tegen de grenzen van je rekenprogramma aanloopt is het wel handig om niet iedere term opnieuw te berekenen, maar ten opzichte van de voorgaande term: Hieronder staan de grafieken van F (x) behorende bij de drie varianten zoals die te zien zijn in de eerste grafiek bovenaan deze pagina. Dit is de grafiek van F (x) voor de eerste variant, de rode lijn in de eerste grafiek bovenaan deze pagina. Wat opvalt is dat alle lijnen over elkaar heen liggen, dus dat betekent dat in dit geval tien termen meenemen voldoende is om een nauwkeurig antwoord te krijgen. Voor de tweede variant, de groene lijn in de eerste grafiek bovenaan deze pagina, wordt dat een ander verhaal. In de grafiek hieronder is te zien dat je minstens vijftig termen mee mooet nemen. Tenslotte de derde variant, de blauwe lijn in de eerste grafiek bovenaan deze pagina. Zelfs honderd termen meenemen is in dit geval nog niet voldoende zoals uit onderstaande grafiek blijkt. De crux zit in de waarde van m. Naarmate m naar één nadert convergeert de reeks steeds slechter en moeten er steeds meer termen meegenomen worden. Hieronder staan de drie oplossingen bij elkaar in één grafiek, voor de rode lijn is m = 0.24095, voor de groene lijn is m = 0.96593, en voor de blauwe lijn is m = 0.99860.