In de vorige paragrafen gold bij alles wat we hebben uitgezocht dat de ruimte waar het zwaartekrachtveld actief is verder helemaal leeg is. Er is geen enkele vorm van energie aanwezig, dus ook geen massa, alles wat er is is zwaartekracht. Het zwaartekrachtveld rondom een puntmassa ziet er zo uit: Een vectorveld waarbij het niet uitmaakt via welke route je binnen dat veld beweegt van een willekeurig punt A naar een willekeurig punt B, iedere route van A naar B kost dus exact evenveel arbeid, heet een conservatief veld. Dit vectorveld noem ik F (van field). Voor een conservatief veld bestaat er een scalaire functie φ, de potentiaalfunctie, waarvoor geldt: De operator begint inmiddels een goede bekende te worden: Het zwaartekrachtveld F_z is een conservatief veld:

In paragraaf 15 hebben we de stelling van Gauss aan boord gehaald:

En dat bracht ons bij: De vergelijkingen (15.62) en (16.3) kan ik combineren: Voor de duidelijkheid ga ik vergelijking (16.4) helemaal uitschrijven: Voor de termen tussen haken heeft men de volgende verkorte schrijfwijze bedacht:

Ergens zie ik de logica van deze notatie wel in maar anderzijds lijkt het tweetje een kwadraat voor te stellen en dat is niet waar. Een betere oplossing is om een apart symbool te introduceren en dat is ook gebeurd: de Laplaciaan:

Het symbool ∆ (Griekse hoofdletter delta) vind ik niet de meest voor de hand liggende oplossing maar het zij zo. De Laplaciaan is vernoemd naar de Fransman Pierre-Simon Laplace en in tegenstelling tot de operator is de Laplaciaan geen ‘vector-achtig ding’. Bij deze operator gaat er een scalaire functie in en er komt een scalaire functie uit.

We kunnen concluderen dat voor een leeg volume geldt:

Voor het zwaartekrachtveld van een bepaalde massa m geldt volgens de zwaartekrachtwet van Newton:

Einstein begint deze paragraaf met op te merken dat de veldvergelijkingen uit de vorige paragraaf, waarvan vergelijking (15.62) een steunpilaar(tje) is, te vergelijken zijn met de vergelijkingen (16.8) en (16.9) volgens de theorie van Newton. Nu ga ik verder met de stelling van Gauss en vul daar wat dingen in die ik net opgesomd heb:

Indien ik mij als volume een bol voorstel, dan geldt: Waarmee ik vergelijking (16.10) kan schrijven als: Ik introduceer de massadichtheid ρ: Vergelijking (16.13) wordt dan: En de volgende stap brengt ons tenslotte bij: Voor een leeg volume geldt aldus de vergelijking van Laplace: En voor een volume waarbinnen zich ‘iets’ bevindt dat flux genereert (in dit geval massa die zwaartekracht genereert) geldt de vergelijking van Poisson:

Deze vergelijking is genoemd naar de Fransman Siméon Denis Poisson. Datgene wat we voorbij hebben zien komen in paragraaf 15, waarbij we steeds uitgingen van lege ruimte, is te vergelijken met vergelijking (16.8) en een ruimte waar ook energie aanwezig is dient overeen te komen met vergelijking (16.17). Zoals waarschijnlijk bekend zijn trage massa (inertiële massa) en energie hier twee zijden van dezelfde munt volgens:

In paragraaf 15 vonden we de energiecomponenten van het zwaartekrachtveld: Nu zullen we dus nog op zoek moeten naar een tensor die de overige energie (massa) representeert. Deze tensor noemt Einstein de energietensor T_σ^α. Dit is een gemengde tensor, maar we willen dat deze tensor symmetrisch is in de volgende vormen (covariant respectievelijk contravariant): Deze tensor is te vergelijken met de massadichtheid ρ in de vergelijking van Poisson. Hoe deze tensor in te passen is in de vergelijkingen die we in de vorige paragrafen hebben afgeleid leert ons de laatste vergelijking van paragraaf 15: Einstein redeneert als volgt. Wanneer je een compleet systeem beschouwt, bijvoorbeeld het hele zonnestelsel, dan zal de totale massa van het systeem, en daarmee ook de totale zwaartekracht, afhangen van de totale energie van het systeem, dus zowel van de energie van het zwaartekrachtveld als van alle overige energie. We kennen de energiecomponenten van het zwaartekrachtveld uit vergelijking (15.71/E51): Die gaan we vervangen door: Dit brengt ons bij de algemene veldvergelijkingen van de zwaartekracht: Hierin is T:

De contractie van de energietensor is het getal T en die is vernoemd naar de Duitse natuurkundige Max von Laue als de Von Laue-scalar. Vergelijking (16.24/E52) kan ik ook schrijven als:

In paragraaf 15 heb ik een afleiding gedaan waarbij ik uitging van vergelijking (14.5/E47): Die ging ik vervolgens vermenigvuldigen met g^νσ (zie vergelijking (15.65)): En dat bracht ons uiteindelijk bij: Of iets anders geschreven: Vergelijking (16.28) is dus equivalent aan vergelijking (16.29): Vergelijking (16.27) kan ik daarom ook schrijven als: Nu ga ik vermenigvuldigen met g_τσ (en daarna met de indices knutselen): Dit resultaat, de veldvergelijkingen van Einstein, gaan we even inlijsten:

Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

Echter, als je op internet rondsnuffelt of in een boek kijkt dan zie je waarschijnlijk iets anders staan. Hoe komt dat? Om te beginnen kijken we naar de linkerkant van vergelijking (16.32). Dit is de tensor B_μν uit paragraaf 12 (de contractie van de Riemann-tensor onder de voorwaarde √(−g) = 1). Vergelijking (16.32) kan dus ook geschreven worden als:

Deze tensor B_μν wordt tegenwoordig aangegeven als R_μν en staat te boek als de Ricci-tensor en is vernoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Vergelijking (16.34) wordt dan:

Ik introduceer nu de Ricci-scalar R: De Ricci-scalar is de contractie van de Ricci-tensor: Met behulp van vergelijking (16.37) ga ik vergelijking (16.35) omschrijven: Ik loop even vooruit op wat nog komen gaat, want later zal blijken dat: Waarmee vergelijking (16.39) tenslotte wordt (en ook deze lijst ik in): Dit is een vorm die je wel zult herkennen van boeken of internet. Het linkerdeel van vergelijking (16.41) is de geschiedenis ingegaan als de Einstein-tensor: In hun meest compacte vorm zien de veldvergelijkingen er dan zo uit: Einstein beseft terdege dat het invoeren van de energietensor T_μν niet puur voortkomt uit, en gerechtvaardigd wordt door, het relativiteitsprincipe (alle natuurwetten moeten altijd geldig zijn, onafhankelijk van het referentiestelsel dat gekozen wordt) en zegt dat dan ook. Daarom zijn de veldvergelijkingen afgeleid door eerst te kijken naar alleen de energie van het zwaartekrachtveld (in een ruimte die verder helemaal leeg is) en vervolgens te concluderen dat alle andere energie, en dus ook massa, dezelfde graviterende werking moet hebben. De sterkste beweegreden voor de keuze van de veldvergelijkingen zoals we die nu hebben staan is echter dat voor de componenten van de energietensor de behoudswetten van energie en impuls gelden zoals we in paragraaf 15 gezien hebben: In de volgende paragraaf gaan we controleren of het inderdaad klopt dat de energietensor T_μν voldoet aan de behoudswetten.