Tot nu toe hadden we het over platte driehoeken, driehoeken in het platte vlak, maar we hebben ook de interessante categorie driehoeken op een bol. Stel je een driehoek voor op een bol, een gebogen driehoek, oftewel een boldriehoek: Deze driehoek heeft hoekpunten A, B en C, zijden a, b en c, en de hoeken heten net als de hoekpunten A, B en C. In het punt A teken ik een raakvlak aan de bol, en dit raakvlak teken ik in de vorm van een driehoek: De punten P en Q heb ik natuurlijk niet willekeurig gekozen, maar om redenen die nu duidelijk zullen worden. Ik ga het midden van de bol aangeven, de oorsprong, en nog wat hoeken: Merk op dat de afstanden OA, OB en OC gelijk zijn aan de straal van de bol en die straal noem ik r. Merk verder nog op dat de lijnen AP en AQ beide loodrecht op OA staan, dus loodrecht op r. Je mag ook nog opmerken dat bovenstaande figuur perspectivisch niet geweldig getekend is door mij, maar het idee komt wel over hoop ik. Voor de tangensen van β en γ geldt: En voor de cosinussen van β en γ geldt: Nu laat ik de cosinusregel los op de driehoek APQ waarbij ik gebruik maak van (1) en (2): En vervolgens doe ik hetzelfde bij de driehoek OPQ waarbij ik gebruik maak van (3) en (4): Door de vergelijkingen (5) en (6) aan elkaar gelijk te stellen krijg ik de cosinusregel voor de middelpuntshoeken: Ik had deze afleiding uiteraard ook kunnen doen door het raakvlak in het punt B of C te tekenen en dan had ik de volgende resultaten gekregen: Vergelijking (7b) ga ik even iets anders opschrijven: Vervolgens vermenigvuldig ik links en rechts met sin α: En daar ga ik vergelijking (7a) in invullen: Door cyclische verwisseling ontstaan uiteraard alle mogelijke varianten: Vervolgens neem ik vergelijking (7a) en die schrijf ik iets anders op: Ik ga links en rechts kwadrateren: Door beide leden van één af te trekken kan ik overstappen op sinussen en ik knutsel gelijk nog wat verder: Vervolgens neem ik links en rechts de wortel: En ik deel beide zijden door sin α: Omdat het rechterlid α, β en γ in precies gelijke ‘hoeveelheden’ bevat kan het niet anders dan dat het rechterlid een constante is (voor een specifieke driehoek). Uiteraard kan ik ook hier weer de variabelen cyclisch verwisselen waardoor ik de sinusregel voor de boldriehoek tevoorschijn haal: Voor de zijden a, b en c geldt: Uitgaande van een eenheidsbol, dus r = 1, wordt dit: Hiermee gaan de vergelijkingen (7) over in de cosinusregel voor de zijden: Gebruik makend van de sinusregel (vergelijking (16)) kan ik ook nog het volgende opschrijven: Dit ga ik invullen in vergelijking (7c): Vervolgens ga ik links en rechts kwadrateren, daarna haakjes wegwerken en zo veel mogelijk termen samennemen en reorganiseren: Tenslotte haal ik alle termen naar één kant: Nu heb ik een tweedegraads vergelijking waaruit ik cos C wil gaan oplossen. Dat roept uiteraard om de abc-formule: Nu heb ik twee mogelijke antwoorden, maar de plus-mogelijkheid valt af omdat cos C dan groter dan één kan worden. Het eindresultaat wat ik aldus verkregen heb is de cosinusregel voor de hoeken: En door cyclische verwisseling krijg ik: Schrijf maar bij op je lijstje, de rekenregels voor de boldriehoek. Allereerst de cosinusregel voor de middelpuntshoeken: De cosinusregel voor de zijden (van een eenheidsbol, r = 1): De cosinusregel voor de hoeken: De sinusregel: Overige regels: