De functie f (x) = x! is niet ‘zomaar effe’ te differentiëren, dat vereist een heel andere aanpak. Op de faculteitspagina heb ik een set uitstekende benaderingformules afgeleid, die we te danken hebben aan meneer Stirling, waar we wel mee verder kunnen werken. Met toenemende nauwkeurigheid zijn dit de formules van Stirling:

Deze lijst is verder uit te breiden door meer termen toe te voegen, voor de geïnteresseerden doe ik het op de faculteitspagina allemaal uit de doeken. We richten ons hier op het bovenstaande dozijn vergelijkingen en om die te differentiëren ga ik gebruik maken van de kettingregel: En ik ga ook gebruik maken van logaritmisch differentiëren: Nou, daar gaan we dan (ik toon telkens eerst de functie, de vergelijkingen (2), en daarna de afgeleide): In de praktijk komen we niet alleen de functie f (x) = x! tegen, maar ook de natuurlijke logaritme hiervan: Ook dit dozijn vergelijkingen ga ik differentiëren (ik toon telkens weer eerst de functie, de vergelijkingen (8), en daarna de afgeleide): Het is wellicht opgevallen dat de grafieken van de functie f (x) = x! en zijn afgeleide veel op elkaar lijken. Dat is na enig nadenken niet verwonderlijk. Dit is de definitie van de afgeleide: Dat ga ik uitwerken voor de faculteitsfunctie: De faculteitsfunctie is in principe alleen gedefinieerd voor gehele getallen, dus de afstand tussen x₁ en x₂ kan niet kleiner worden dan één: Voor grote waarden van x is dat eentje te verwaarlozen: En zo hebben we de oorspronkelijk functie gevonden, weliswaar voor de x₂-waarde, maar wat ik wil laten zien is dat het niet zo verwonderlijk is dat de faculteitsfunctie en zijn afgeleide veel op elkaar lijken. In de onderstaande grafieken heb ik beide functies over elkaar heen gelegd.