Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(1 - a^2 sin^2 x)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Complexe getallen

Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie

De gammafunctie (functiewaarden)

De gammafunctie

Het explosieve einde van een zwart gat

De verdamptijd van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Hawking-straling

Waar begint de spaghettificatie?

De kans op buitenaards leven

De oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur

Wij en buitenaards leven

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2 voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn)

Deze integraal staat te boek als de complete elliptische integraal van de eerste soort. De oplossing van die integraal kun je elders vinden in de tabel met integralen:

Hier gaan we uiteraard gebruik van maken en direct de grenzen invullen. Het is natuurlijk het gunstigst om gebruik te maken van de tweede oplossing, want voor x = π/2 wordt de cosinus nul:

Om te voorkomen dat je tegen de grenzen van je rekenprogramma aanloopt is het wel handig om niet iedere term opnieuw te berekenen, maar ten opzichte van de voorgaande term:

Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):

Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:

Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | a | < 1. In de limiet dat a naar één nadert wordt de integraal:

De oplossing van de integraal van sec x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit eindresultaat:

De grafiek van K (a) met 10 termen (de rode lijn),
50 termen (de groene lijn) en 250 termen (de blauwe lijn)

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^3/2

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

Differentiëren

De integraal van
f (x) = x² (ax − b)^1/2

De integraal van
f (x) = sin⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot (ax)

De integraal van
f (x) = sin ln (ax)

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(a² ± x²)^1/2

Vectoren, vraagstuk 71

Vraagstukken xref voor de UT

De Taylor-reeks van
f (x) = ln (a − x)

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 − x)^1/3

Lijnen trekken door negen punten

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 4: de zaklamp

Uitleg artikel precessie van Mercurius: paragraaf 2

Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

Analyse van een model voor de dichtheid van de Zon

Vraagstukken algemene natuurkunde

De illusie dat ik goed kan autorijden

Complexe getallen

Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie

De gammafunctie (functiewaarden)

De gammafunctie

Het explosieve einde van een zwart gat

De verdamptijd van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Hawking-straling

Waar begint de spaghettificatie?

De kans op buitenaards leven

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024