De integraal van
f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2
De grafiek van f (x) = 1/(1 − a
2 sin
2 x)
1/2 voor a
2 = 0.1 (de rode lijn),
a
2 = 0.5 (de groene lijn) en a
2 = 0.9 (de blauwe lijn)
Deze
integraal
staat te boek als de
complete elliptische integraal van de eerste soort.
De oplossing van die
integraal
kun je elders vinden in de
tabel met integralen:
Hier gaan we uiteraard gebruik van maken en direct de
grenzen invullen.
Het is natuurlijk het gunstigst om gebruik te maken van de tweede oplossing, want voor x = π/2 wordt de
cosinus nul:
Om te voorkomen dat je tegen de grenzen van je rekenprogramma aanloopt is het wel handig om niet
iedere term opnieuw te berekenen, maar ten opzichte van de voorgaande term:
Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert
dan hebben we er niets aan.
De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term
voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in
absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | a | < 1.
In de limiet dat a naar één nadert wordt de
integraal:
De oplossing van de
integraal
van sec x kun je elders vinden in de
tabel met integralen.
Dat brengt ons bij dit eindresultaat:
De grafiek van K (a) met 10 termen (de rode lijn),
50 termen (de groene lijn) en 250 termen (de blauwe lijn)