De integraal van
f (x) = xi
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = xi
De grafiek van f (x) = x
i, horizontaal is de
reële
as en verticaal de
imaginaire as
Voor het
integreren
van deze functie kan ik twee paden bewandelen.
Complexe getallen schrijven we het liefst in de vorm:
Oftewel, met het
reële en
imaginaire deel gescheiden.
Ik kan dus de functie eerst gaan
integreren
en daarna het antwoord in bovenstaande vorm schrijven, of ik schrijf de functie eerst in bovenstaande vorm
en ga daarna
integreren.
Ik begin met de eerste optie.
In dat geval leidt de
tabel met afgeleiden
ons rechtstreeks naar de oplossing van deze
integraal:
Vervolgens maak ik gebruik van de volgende identiteit:
Hiermee ga ik de oplossing van de
integraal
verbouwen:
Omdat bovendien geldt:
Hiermee wordt de oplossing van de
integraal:
Dit was de eerste route, nu de andere route.
Ik begin met het omschrijven van de functie:
De
integraal wordt dan:
De oplossing van de
integraal
van cos ln x kun je elders vinden in de
tabel met integralen
en de oplossing van de
integraal
van sin ln x kun je ook elders vinden in de
tabel met integralen.
Dat brengt ons bij dit eindresultaat:
Uiteraard hetzelfde antwoord als wat ik eerder al vond.
Het is wel illustratief om nog even te kijken naar de absolute waarden van f (x) en F (x).
Allereerst f (x):
Dit is een eenheidscirkel zoals al bleek uit de grafiek bovenaan deze pagina.
Vervolgens F (x):
Dit is een spiraal die begint in de oorsprong zoals onderstaande grafiek laat zien.
De grafiek van F (x), c = 0, horizontaal is de
reële
as en verticaal de
imaginaire as