Elektriciteit en magnetisme, vraagstuk 11

Leid de formule van Heaviside af door enkel en alleen gebruik te maken van klassieke elektromagnetische wetten (lees: de wetten van Maxwell).

Ik begin met de wet van De Coulomb voor het elektrische veld van een lading Q (die feitelijk geldt ‘in rust’, of beter gezegd: voor een waarnemer die met de lading Q meebeweegt):

De lading Q bevindt zich in de oorsprong van het S'-stelsel:
Dit elektrische veld kan ik uitdrukken in de elektromagnetische potentialen (voor een waarnemer in het S-stelsel):
En voor die elektromagnetische potentialen heb ik een algemene oplossing beschikbaar voor een willekeurige ladingsverdeling die met een constante snelheid v beweegt:

Zoals gezegd bevindt de lading zich in de oorsprong van het S'-stelsel en dat vereenvoudigt de uitdrukkingen voor de potentialen:

En de integraal van de ladingsverdeling over het totale volume wordt dan simpelweg Q (want het is een puntlading):

Deze potentialen ga ik invullen in vergelijking (2), maar voordat ik dat doe herinner ik mijzelf er aan dat de Lorentz-ijk gevolgen had voor de afgeleiden:

Er sluipt een minteken de vergelijkingen binnen! Daarom ga ik eerst vergelijking (6) invullen in vergelijking (2):
En nu ga ik vergelijking (5a) inzetten:
Omdat de snelheid in de x-richting gericht is zijn de y-component en de z-component van de snelheid nul:
En om diezelfde reden kan ik nogmaals termen wegstrepen:
Eerder stelde ik al:
En nu stel ik:
Hiermee wordt vergelijking (10):
Hierin is θ de hoek tussen de richting van de snelheid en de positievector naar het punt P waar we het veld willen weten:
Voor de sinus van θ geldt daarom:
Hiermee wordt vergelijking (13)
Door nog even een blik te werpen op de wet van De Coulomb kan ik ook schrijven:
Oftewel:

Vergelijking (17) is de gezochte formule van Heaviside. Ik maak hier even een plaatje van, horizontaal is θ uitgezet (van 0 tot 180 graden) en ik laat β in stapjes van 0.001 oplopen tot 0.02 (= 6000 km/s!). Je ziet dat de functie dan amper afwijkt van één:

Pas wanneer de snelheid in de buurt komt van de lichtsnelheid gaat er iets gebeuren. In onderstaand plaatje loopt β in stapjes van 0.05 op tot 0.95:
Merk op dat voor θ = π/2 de factor γ overblijft:
En voor θ = 0 resteert 1/γ2:
Voor v = 0 geven zowel vergelijking (18) als vergelijking (19) het resultaat één, oftewel de wet van De Coulomb (= de statische situatie). Voor β nadert naar één daarentegen nadert vergelijking (18) naar oneindig en vergelijking (19) naar nul. Met andere woorden, het veld heeft dan alleen nog maar componenten loodrecht op de bewegingsrichting en de componenten (anti)parallel aan de bewegingsrichting gaan naar nul: lengtecontractie. Voor lage snelheden blijft het veld (nagenoeg) perfect radiaal symmetrisch volgens de wet van De Coulomb:
Voor hoge snelheden krijgt het veld de vorm van een ellips:

Merk ook op dat ik deze afleiding, om tot de formule van Heaviside te komen, gedaan heb zonder ook maar iets te zeggen over inertiaalstelsels of de ether of wat voor relativistische principes dan ook. Dat Moeder Natuur zoiets als het fenomeen invariantie bedacht had was anderhalve eeuw geleden nog ondenkbaar en daar heb ik dan ook niet aan gerefereerd. Het woord “lichtsnelheid” is niet gevallen, noch heb ik het symbool “c” gebruikt. Ik heb ook geen golfvergelijkingen gebruikt, laat staan opgelost (waar dan de lichtsnelheid uit naar voren was gekomen). Ik heb alleen de wetten van Maxwell gebruikt, elektromagnetische potentialen in het leven geroepen en verder alleen maar wiskunde bedreven. Dat was immers ook het enige gereedschap dat Heaviside destijds (in de jaren tachtig van de negentiende eeuw) tot zijn beschikking had.

Heaviside kwam met zijn formule ruim twintig jaar voordat Einstein zijn speciale relativiteitstheorie publiceerde, oftewel Heaviside had nog helemaal geen beschikking over relativistische vergelijkingen en werkte met alleen maar klassieke elektromagnetische wetten (de wetten van Maxwell) naar zijn formule toe. Een opmerkelijk resultaat! De formule van Heaviside is ook af te leiden vanuit de speciale relativiteitstheorie en dan weer te beginnen bij de wet van De Coulomb en vervolgens alle relativistische transformatievergelijkingen (die de invariantie van de lichtsnelheid als uitgangspunt hebben) in te zetten. Hoe dat precies in zijn werk gaat vind je op deze pagina.