Hyperbolische functies

De definitie van de hyperbolische functies.

Sinus hyperbolicus:
Cosinus hyperbolicus:
Tangens hyperbolicus:
En er zijn de reciproke versies van dit drietal.

Cosecans hyperbolicus:
Secans hyperbolicus:
Cotangens hyperbolicus:
De grafieken van deze functies zien er als volgt uit:

De grafiek van f (x) = sinh (ax) voor a = 0.9 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 1.1 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = cosh (ax) voor a = 0.9 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 1.1 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = tanh (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = csch (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = sech (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = coth (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1.0 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn)
Waaruit volgt:






De inverse hyperbolische functies.

Area sinus hyperbolicus:
Area cosinus hyperbolicus:
Area tangens hyperbolicus:
Area cosecans hyperbolicus:
Area secans hyperbolicus:
Area cotangens hyperbolicus:
En daar zijn uiteraard ook grafieken van te maken:

De grafiek van f (x) = arsinh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arcosh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = artanh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arcsch (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arsech (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van f (x) = arcoth (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
De inverse hyperbolische functies zijn ook te schrijven als logaritmische functies. Om te laten zien hoe je ze omschrijft maak ik gebruik van de abc-formule voor het oplossen van een tweedegraads vergelijking:

Dit is de sinus hyperbolicus:
De area sinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cosinus hyperbolicus:
De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de tangens hyperbolicus:
De area tangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cosecans hyperbolicus:
De area cosecans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de secans hyperbolicus:
De area secans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cotangens hyperbolicus:
De area cotangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

De formules van Euler:


Waaruit volgt:





Samengevat:
Hyperbolische functies
Hyperbolische functies met negatieve x
Hyperbolische functies met imaginaire x
Inverse hyperbolische functies
Rekenregel