Ik laat vanaf grote afstand een baksteen in een zwart gat vallen en diverse kabouters bevinden zich in de buurt van het zwarte gat. Iedere kabouter staat op een raketmotor, want anders zou hij direct in het zwarte gat verdwijnen, en is daardoor een stationaire waarnemer [Engels: hovering observer of shell observer]. De raketmotor is zo afgesteld dat de zwaartekracht van het zwarte gat precies gecompenseerd wordt en daardoor blijft de kabouter op dezelfde positie. Met welke snelheid zien de kabouters de baksteen passeren?

In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die in een niet-roterend zwart gat valt. Vergelijking (6) van die pagina geeft de snelheid: Echter, dit is de snelheid van de baksteen voor een waarnemer ‘ergens ver weg’ (in dit geval ben ik dat, de persoon die de baksteen loslaat) en nu willen we de snelheid weten ‘ter plekke’, dus zoals waargenomen door de kabouters. In hun referentiesysteem is de snelheid: Hierin zijn τ en ρ de tijd- en plaatsvariabelen van de kabouters.

Ik haal even de Schwarzschild-oplossing (oftewel de Schwarzschild-metriek) op, want die is hier van toepassing:

Voor een stationaire waarnemer, een kabouter, geldt dr = 0, dφ = 0 en dθ = 0, want hij is immers stationair: Voor iedere kabouter geldt ook, stationair of niet, dat er alleen maar tijd verstrijkt, zijn eigentijd τ: Dit vul ik in in vergelijking (4): Stel dat zich twee kabouters ‘boven elkaar’ bevinden, dus dφ = 0 en dθ = 0, en ze laten allebei een lampje flitsen. En stel dat het tijdsverschil tussen de beide flitsen voor een verre waarnemer nul is, dt = 0, dan geldt: Omdat dt = 0 moet volgens vergelijking (6) ook gelden dat dτ = 0. Het verschil in afstand tussen de beide kabouters, zoals zij dat ter plekke met een meetlat meten, is dan: Dit vul ik in in vergelijking (7): Het is bijzonder (vind ik) hoe oneindig veel gemakkelijker het is om je voor te stellen dat twee kabouters zich handhaven op dezelfde positie en vervolgens vergelijking (6) af te leiden, dan om je voor te stellen dat twee kabouters zich handhaven op hetzelfde tijdstip en vervolgens te komen tot vergelijking (9). Dat heeft er natuurlijk alles mee te maken dat wij in ons dagelijks leven wel voorbeelden zien dat iemand niet beweegt in de ruimte, maar niet dat iemand niet beweegt in de tijd. Terwijl, als je de vergelijkingen (6) en (9) zo bekijkt zien ze er heel logisch en complementair uit, maar om vergelijking (9) op een natuurlijke en logische manier boven water te krijgen is een hele lastige (hierboven haalde ik er twee flitsende lampjes bij en dat vind ik nog wel de overtuigendste). In de literatuur zie je dan ook de wonderbaarlijkste redeneringen om tot vergelijking (9) te komen en veel auteurs doen niet eens een poging en gooien het er zo in.

Door de vergelijkingen (1), (2), (6) en (9) te combineren vind ik tenslotte de snelheid waarmee de kabouters de baksteen zien passeren: Ik laat de baksteen in het zwarte gat vallen, dus ik gooi niet in deze of gene richting, er is radiële inval, en daarom is het impulsmoment gelijk aan nul (J = 0): Ik laat de baksteen ‘gewoon’ los vanuit een positie ‘ver weg’, dus de beginsnelheid is nul. Oftewel, v = 0 voor r = ∞: Hiermee wordt vergelijking (11): Ik breng de Schwarzschild-straal even in herinnering, de straal van een zwart gat: Hiermee wordt vergelijking (13) tenslotte: Het is nu uiteraard tijd voor een grafiek. Ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1 (dit betekent dat verticaal de snelheid staat uitgezet als fractie van de lichtsnelheid). Ik zet de negatieve snelheid uit zodat alles netjes boven de horizontale as ligt. De vorige grafiek begon bij 40 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en ik zoom even in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon. De kabouters zien de baksteen met exact de lichtsnelheid door de horizon gaan. Let wel, dat is alleen het geval indien ze zich daar ook precies bevinden en dat is onmogelijk, want dan zou hun raketmotor hen moeten versnellen tot de lichtsnelheid om te voorkomen dat ze in het zwarte gat verdwijnen en dat kan niet. Oftewel, de kabouters zien de baksteen met de lichtsnelheid door de horizon gaan in het limietgeval dat ze zich daar ook werkelijk bevinden. Omdat de horizon onbereikbaar is voor de kabouters (en voor iedereen) en ze slechts tot op enige afstand kunnen naderen zullen ze de baksteen altijd met een snelheid net onder de lichtsnelheid voorbij zien komen.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking (= deze pagina)	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking