Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat de baksteen de horizon passeert bezien vanuit mij?

De baksteen nadert de horizon van het zwarte gat

Ik ben diegene die de baksteen laat vallen en ik bevind mij op grote afstand van het zwarte gat. Oftewel, ik ben een verre stationaire waarnemer [Engels: distant observer of Schwarzschild observer of bookkeeping observer of kortweg bookkeeper].

In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die in een niet-roterend zwart gat valt:

Schwarzschild

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de straal van een zwart gat:

Voor de snelheid geldt eveneens:

Uit de combinatie van de vergelijkingen (1) en (3) volgt:

Vervolgens ga ik links en rechts integreren:

Deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen:

Omdat artanh 1 = ∞ wordt ∆t oneindig. Voor de inzichtelijkheid is het beter als ik voor de bovengrens geen R_s invul, maar een variabele r (die ik vervolgens naar R_s laat naderen):

In dit vraagstuk, dat ik aan het begin van deze pagina al noemde, heb ik ook de klassieke snelheid afgeleid van een baksteen die in een zwart gat valt:

Vanuit een klassiek oogpunt wordt de invaltijd van de baksteen dan:

Het is de hoogste tijd voor een grafiek. Ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1. Ik laat de baksteen los op grote afstand van het zwarte gat, maar om de grafiek interessant te maken toont die de invaltijd vanaf 1000 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en op dat punt leg ik ook het nulpunt van de tijdmeting.

De grafiek van ∆t (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De groene lijn, die de relativistische invaltijd weergeeft, valt volledig over de rode lijn, die de klassieke invaltijd weergeeft, heen. Laat ik maar eens inzoomen vanaf 100 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon.

De grafiek van ∆t (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Nu worden er in de nabijheid van het zwarte gat duidelijk verschillen zichtbaar. Ik zoom verder in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon.

De grafiek van ∆t (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Nu is duidelijk zichtbaar dat de relativistische invaltijd naar oneindig gaat. Ik zoom voor de laatste maal in, nu naar één Schwarzschild-straal vanaf de horizon.

De grafiek van ∆t (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

Klassiek bezien heeft de baksteen een eindige invaltijd, terwijl relativistisch bezien de baksteen nimmer aankomt bij de horizon omdat zijn invaltijd oneindig is. Voor alle duidelijkheid: dit is allemaal voor een waarnemer op grote afstand van het zwarte gat.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking (= deze pagina)		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking