Involuties

Stel ik heb een willekeurige functie:
Voor een involute functie, of involutie, geldt dat indien ik die tweemaal toepas op een bepaald argument dat ik dan het oorspronkelijk argument weer als uitkomst krijg:
Uit de combinatie van bovenstaande vergelijkingen volgt dat ik ook kan schrijven:

En uit de vergelijkingen (1) en (3) volgt dat de functie zijn eigen inverse is:

Deze vergelijking staat ook in de boeken als de Babbage-vergelijking, want het was de Engelsman Babbage die zich als eerste verdiepte in functies die hun eigen inverse zijn.

Waarom ik hier hoofdletters gebruik voor X en Y zal weldra duidelijk worden. Het aantal mogelijke involuties is oneindig, maar in essentie is er maar één functie die voldoet en alle overige oneindig veel functies zijn allemaal varianten op die ene functie. Omdat een involute functie zijn eigen inverse is volgt daaruit dat de functie symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x, het symmetrie-criterium. Dit kan ik ook grafisch duidelijk maken. Ik heb nog geen idee hoe deze functie f eruit ziet, maar ik heb even uit de losse pols een stukje geschetst, zie het plaatje hieronder.
Dit is een stukje van de functie volgens vergelijking (1) en volgens vergelijking (3) moet dat hetzelfde plaatje opleveren, maar dan met X en Y verwisseld.
Nu ga ik de bovenstaande twee plaatjes samenvoegen in één plaatje.
Het moge duidelijk zijn dat de functie f symmetrisch is ten opzichte van de lijn Y = X (de rode lijn). Een simpel voorbeeld van een functie die hieraan voldoet is de functie f (x) = −x.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = −x (de groene lijn)
Ik kan er eventueel nog een constante aan toevoegen.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn), f (x) = −x − 4 (de groene lijn)
en f (x) = −x + 4 (de blauwe lijn)
De functie f (x) = 1/x voldoet ook.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = 1/x (de groene lijn)
Ik kan het ook wat exotischer maken: een cirkel.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = ±(R2 − x2)1/2 (de groene lijn) voor R = 5
Dit zijn zomaar wat voorbeelden en hier zijn ook nog allerlei variaties op te bedenken, maar zoals je ziet zijn ze allemaal symmetrisch ten opzichte van de functie g (x) = x (de rode lijn). Merk op dat de rode lijn, de functie g (x) = x, zelf ook voldoet, want die lijn voldoet ook aan het symmetrie-criterium.

Wat kunnen we verder zeggen over een involute functie behalve dat die symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x? Daarvoor ga ik de functie f voorstellen middels een polynoom:
De derde term hiervan, a2X2, is een parabool en die voldoet zeker niet aan het symmetrie-criterium. Het kan dus niet anders dan a2 = 0 voor een involute functie. En dat geldt ook voor alle volgende even termen, want X4, X6, enzovoort, zijn feitelijk allemaal parabolen die nog sneller stijgen. Dat kun je ook inzien door X4 te beschouwen als (X2)2, X6 als (X3)2, enzovoort. Met andere woorden, alle even termen in vergelijking (5a), behalve a0, moeten nul zijn:
De derde term hiervan, a3X3, ‘begint’ ergens in −∞ en ‘eindigt’ ergens bij +∞ indien a3 positief is en voor een negatieve a3 is het precies omgekeerd. Deze term voldoet dus onmogelijk aan het symmetrie-criterium en het kan dus niet anders dan a3 = 0. Voor alle volgende oneven termen kan ik precies dezelfde redenering volgen en daarom moeten alle oneven termen in vergelijking (6), behalve a1X, ook nul zijn:
Geloof het of niet, maar bovenstaande vergelijking is de moeder van alle involute functies.

Een andere aanpak is de volgende. Ik teken weer een willekeurig stukje van een involute functie op een traject waar de functie overgaat van stijgend naar dalend.
Indien de functie involuut is dan moet er ook een stukje van die functie bestaan ‘aan de andere kant’ van de lijn Y = X (de rode lijn).
En aangezien een willekeurige functie f (x) een eenduidige beschrijving op moet leveren voor wat er voor iedere x als functiewaarde f uit moet komen mag het niet zo zijn, zoals in het plaatje hierboven, dat één waarde van x twee verschillende functiewaarden oplevert. Dit impliceert dat een involute functie altijd monotoon stijgend of monotoon dalend moet zijn. Ergens een horizontale raaklijn mag nog wel, maar een tekenwisseling van de afgeleide is ontoelaatbaar. Vervolgens kijk ik weer naar het polynoom van vergelijking (5a):
De meest rechtse term bepaalt waar de functie heen gaat indien x naar −∞ of +∞ gaat. Is die term een even term dan is de functie zeker niet monotoon stijgend of dalend en is die term oneven dan ligt de symmetrie ten opzichte van de lijn Y = X in duigen. Ook hieruit blijkt dat alleen de eerste twee termen, met a0 en a1, samen een involute functie kunnen voorstellen en alle andere termen nul moeten zijn.

Nou weet ik wel dat het polynoom van vergelijking (5a) uit oneindig veel termen bestaat (in ieder geval: zou kunnen bestaan), en daarom bestaat er niet zoiets als een ‘meest rechtse term’. Er bevindt zich altijd wel weer een term daar nog weer rechts van, want oneindig is niet een eindpunt of zoiets. De voorgaande twee plaatjes laten zien dat een involute functie óf monotoon stijgend óf monotoon dalend is. Daarnaast bevindt een involute functie zich altijd deels boven/links van de lijn Y = X en deels onder/rechts van de lijn Y = X. Ergens moet de involute functie daarom de lijn Y = X snijden. En dat moet loodrecht gebeuren om het involuut zijn van de functie te waarborgen (symmetrie ten opzichte van de lijn Y = X). De richtingscoëfficiënt van de involute functie in het snijpunt met de lijn Y = X moet gelijk zijn aan −1, want alleen dan wordt er loodrecht gesneden (loodrechte snijding impliceert dat het product van de richtingscoëfficiënten gelijk is aan −1). Dit is in rechtstreeks conflict indien de involute functie monotoon stijgend is, want dan is de richtingscoëfficiënt nooit negatief. Conclusie: een monotoon stijgende involute functie zal nimmer de lijn Y = X snijden, hij kan er slechts mee samenvallen. De enigst mogelijke monotoon stijgende involute functie is daarom Y = X.

Voor een monotoon dalende functie mag geen der coëfficiënten an (n > 0) positief zijn, want dan wordt er niet meer monotoon gedaald. Dus iedere coëfficiënt an (n > 0) is negatief of nul. De afgeleide van Y is:
In het snijpunt met de lijn Y = X moet hier altijd −1 uitkomen, onafhankelijk van de waarde van a0 want die komt hier niet in voor. En door a0 te variëren verandert uiteraard ook de x-waarde van het snijpunt. Het kan daarom niet anders dan dat a1 = −1 en alle andere coëfficiënten an = 0 (n > 1).

Het is uiteraard interessant om te onderzoeken of er nog iets te zeggen is over de constanten a0 en a1. Daartoe stel ik voor het gemak a1 = a en a0 = b, en vervolgens stel ik a en b bij toerbeurt al dan niet gelijk aan nul en kijk wat er dan gebeurt. Dat levert deze overzichtstabel op.
Constanten Functie Inverse functie Involuut?
Ja, voor a = −1
Nee
Ja, voor a = +1 of a = −1
Nee
Tabel 1
Samengevat zijn dit de enige twee mogelijke involute functies:

De oplettende lezer zal nu wellicht opmerken hoe het dan zit met de cirkel die ik hiervoor als exotisch voorbeeld gaf van een involute functie, want de vergelijkingen (8) beschrijven echt geen van beiden een cirkel. Dat komt omdat een functie involuut blijft indien zowel X als Y volgens hetzelfde vaste patroon veranderen:

Hierin mag T iedere willekeurige transformatiefunctie zijn. Want indien ik stel:

En als ik dan ook nog kies dat b = R2 dan wordt vergelijking (8b):
Voilà, de vergelijking van een cirkel.

Het voorbeeld voorafgaande aan de cirkel was een hyperbool en ook die kan ik tevoorschijn halen uit vergelijking (8b) middels de volgende transformatie:
Vergelijking (8b) transformeert hiermee in:
Door de constanten te herdefiniëren kan ik de voorgaande vergelijking schrijven als volgt:
Ook hier is het een interessante stap om te onderzoeken of er nog iets te zeggen is over de constanten a, b, c en d. Ik stel wederom de constanten bij toerbeurt al dan niet gelijk aan nul en kijk wat er dan gebeurt. Dat levert deze overzichtstabel op.
Constanten Functie Inverse functie Involuut?
Ja, voor a = −d
Ja, voor d = 0
Ja, voor a = −d
Ja, voor a = −d
Ja, voor a = 0
Nee
Nee
Ja
Ja, voor a = +d of a = −d
Nee
Nee
Nee
Nee
Nee
Nee
Nee
Tabel 2
Hieronder staan alle afgeleide mogelijke involute functies uit bovenstaande tabel (waarbij de a’tjes en b’tjes niet meer overal dezelfde zijn als in de tabel):




De vergelijkingen (15a) en (15b) zijn de equivalenten van (8a) en (8b), en (15c), (15d) en (15e) zijn drie afgeleide hyperbole varianten.

Samenvatting


Dit is de moeder van alle involute functies:
De constanten a0 en a1 zijn niet vrij te kiezen en ook niet onafhankelijk van elkaar. Er zijn slechts twee combinaties mogelijk, de enige twee involuties die zich ook echt involuut gedragen, vergelijking (8a) is de rode lijn in het plaatje hieronder en (8b) vertegenwoordigt alle rechte lijnen die daar loodrecht op staan:


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn), f (x) = −x − 4 (de groene lijn)
en f (x) = −x + 4 (de blauwe lijn)
Dit is het, meer smaken zijn er echt niet. Alles wat je tegenkomt in de literatuur en op internet zijn vermommingen van deze twee functies, want een functie blijft involuut indien zowel X als Y volgens hetzelfde vaste patroon veranderen. Een kwadratische transformatie brengt de cirkel voor het voetlicht (waarbij ik vals speel om een mooi plaatje te maken, want ik plak stiekum twee functies tegen elkaar aan, het deel boven de x-as (de positieve wortel) en het deel onder de x-as (de negatieve wortel), feitelijk geldt de involutie van de cirkel alleen in het eerste - en het derde kwadrant):


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = ±(R2 − x2)1/2 (de groene lijn) voor R = 5
Door een hyperbolische transformatie uit te voeren verkrijg ik een hyperbolische involutie:


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = a/x voor a = 1 (de groene lijn)
en voor a = 10 (de blauwe lijn)
Diezelfde transformatie levert ook de groep bilineaire involuties op:


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = (x + b)/(cx − 1) voor b = −2 en c = 0.8 (de groene lijn)
en voor b = 2 en c = 0.8 (de blauwe lijn)
Een derdemachtstransformatie kom je ook weleens tegen:


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = (b − x3)1/3 voor b = 5 (de groene lijn)
en voor b = 50 (de blauwe lijn)
Of wat dacht je van deze, de astroïde (waarbij ik weer twee functies tegen elkaar aan plak om een mooi plaatje te maken, het deel boven de x-as (voor b = +π/2) en het deel onder de x-as (voor b = −π/2), feitelijk geldt ook hier de involutie alleen in het eerste - en derde kwadrant):


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en f (x) = a cos3 (±π/2 − arccos (x/a)1/3) (de groene lijn) voor a = 6

Het folium van Descartes:


Dit is een derdegraads vergelijking en dat geeft als oplossingen:

De blauwe lijn in het plaatje is de asymptoot.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn), y3 − 3axy + x3 = 0 (de groene lijn)
en h (x) = −x − a (de blauwe lijn) voor a = 3

De cissoïde van Diocles:


Dit is wederom een derdegraads vergelijking, maar ook die is uiteraard op te lossen en dat levert het volgende plaatje op. De blauwe lijn is wederom de asymptoot.

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn), y3 + (x − a) (x2 + y2) + (x + 2a) xy = 0 (de groene lijn)
en h (x) = −x + 2a (de blauwe lijn) voor a = 3
Normaliter wordt de cissoïde verticaal afgebeeld, maar dan is de functie uiteraard niet meer involuut zoals de inmiddels ervaren involutiekijker direct aan het functievoorschrift afleest:

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn), f (x) = x (x/(2a − x))1/2 (de groene lijn)
en x = 2a (de blauwe lijn) voor a = 2

Tot slot, de lemniscaat van Bernoulli, een kromme met veel symboliek. De lemniscaat, in zijn gangbare horizontale positie, is niet involuut al is dat in het functievoorschrift niet overduidelijk te zien. Het zit namelijk in het subtiele verschil dat in de linkerterm x2 en y2 hetzelfde teken hebben en in de tweede term niet:


De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en (x2 + y2)2 − 2a2 (x2 − y2) = 0 (de groene lijn) voor a = 5
Na een rotatie van 45 graden linksom is de functie wel involuut, x en y zijn dan volledig in balans in het functievoorschrift:

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en (x2 + y2)2 − 4a2xy = 0 (de groene lijn) voor a = 5
En uiteraard ook na een rotatie van 45 graden rechtsom:

De grafiek van g (x) = x (de rode lijn) en (x2 + y2)2 + 4a2xy = 0 (de groene lijn) voor a = 5
De mogelijkheden zijn eindeloos, maar in essentie zijn y = x en y = −x + b de enige twee involute functies. Dat blijkt ook uit het feit dat (bijna) alle grafieken die op deze pagina staan geen zuivere functies weergeven, want er is (bijna) altijd wel een deel van de grafiek waar het functievoorschrift een x-waarde aan twee of meer functiewaarden koppelt (het folium en de cissoïde hebben plaatselijk zelfs drie functiewaarden). Voor (bijvoorbeeld) de cirkel is de involutie nog te redden door te stellen dat je het domein beperkt tot het eerste kwadrant.