Vectoren, vraagstuk 84

S is het oppervlak van de eenheidsbol met straal 1 en de oorsprong als middelpunt. Het vectorveld w is gegeven door:
Bereken:
  1. Rechtstreeks.
  2. Met behulp van de stelling van Gauss.

Het vectorveld w
  1. Rechtstreeks.

    In Cartesische coördinaten wordt een bol beschreven door:
    Omdat we hier te maken hebben met een eenheidsbol geldt dus:

    Het feit dat we te maken hebben met een boloppervlak nodigt uit om over te gaan op bolcoördinaten:


    Met de kennis dat ρ = 1 volgt hieruit als parametrisering voor S:
    Nu bepaal ik de partiële afgeleiden van S:

    Via het uitwendig product kan ik hiermee dA berekenen:
    Uit de parametrisering van S kan ik x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld schrijven als:
    Nu bereken ik het inwendig product wdA en dat verbouw ik gelijk tot iets dat een beetje fatsoenlijk te integreren is:
    De grenzen van de bol zijn:

    Dan wordt de integraal:
    De oplossing van de integraal van cos2 x kun je vinden in de tabel met integralen, de oplossing van de integraal van cos4 x kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van sin2 x kun je ook vinden in de tabel met integralen.
  2. Met behulp van de stelling van Gauss.

    Volgens meneer Gauss geldt ook voor deze bol (B) de stelling van Gauss:

    kennen we als volgt:
    Dan wordt het inwendig product w:
    Hier ben ik in de laatste stap weer overgegaan naar bolcoördinaten (en ρ dient nu wel meegenomen te worden als variabele omdat we het volume van de bol gaan integreren). In bolcoördinaten geldt voor een volumestukje dV:
    De grenzen van de bol zijn:


    Dan wordt de integraal: