Elektriciteit en magnetisme, vraagstuk 8

Schrijf de wetten van Maxwell met enkel en alleen potentialen én gebruik de Lorentz-ijk.

Dit zijn de wetten van Maxwell, inmiddels welbekend neem ik aan:







In een eerder vraagstuk leidde ik de vergelijkingen af voor de potentialen van het elektromagnetische veld:


In het vorige vraagstuk heb ik die gebruikt om de wetten van Maxwell om te schrijven met dit resultaat:


De enige voorwaarde die ik tot nu toe aan de vector A heb gesteld is dat de afgeleide van die vector naar de tijd in combinatie met de gradiënt van de elektrostatische potentiaal gelijk moet zijn aan het elektrische veld (zie vergelijking (2a)). Dat is alles. Verder heb ik nog een zee van vrijheid om de vector A bepaalde randvoorwaarden mee te geven. Dat noemen we ijken. Over de afgeleiden naar x, y en z is bijvoorbeeld nog geen woord gezegd:




Het was Lorentz die op het volgende lumineuze idee kwam, de Lorentz-ijk (Engels: Lorentz-gauge). Hij stelde:


Nee, dit is geen Lorentz-eik

Of kortweg:

Dit ga ik invullen in de vergelijkingen (3):


Een goed moment om de d’Alembertiaan in te zetten, de vierdimensionale uitbreiding van nabla. De d’Alembertiaan wordt helaas niet eenduidig genoteerd, er zijn auteurs die de plussen en minnen verwisselen en er zijn er ook die voor het gemak het tweetje weglaten (Wikipedia!). Dat kan op zich wel, maar het is een operator met tweede afgeleiden en dan zorgt dat tweetje wel voor behoud van duidelijkheid en systematiek (en per slot van rekening is systematiek een hoeksteen van de wiskunde):

Hiermee worden de vergelijkingen (7):


Dit is toch een geweldig resultaat, het hele bouwwerk van Maxwell is gereduceerd tot twee supercompacte vergelijkingen: