In deze paragraaf gaan we ons verdiepen in geodetische lijnen, of kortweg geodeten. Stel je hebt twee punten, P₁ en P₂, die zich ergens bevinden in de vierdimensionale ruimtetijd. Vervolgens vind ik een paadje hoe ik van P₁ naar P₂ kan komen. Zoals we inmiddels weten is het interval ds het infinitesimale afstandje tussen twee punten in de vierdimensionale ruimtetijd die heel dicht (infinitesimaal) bij elkaar liggen. Het paadje van P₁ naar P₂ is een aaneenschakeling van heel erg veel van deze intervalletjes ds. Door al die intervalletjes ds bij elkaar op te tellen kom ik erachter wat de afstand is van P₁ naar P₂. De afstand van P₁ naar P₂ noem ik l en heel veel infinitesimale ‘dingetjes’ bij elkaar optellen betekent dat ik moet integreren: Maar stel nou dat vlak naast het hierboven genoemde paadje een ander paadje loopt, en dit paadje ligt het hele kleine stukje δ ‘verderop’. En δ is maar een infinitesimaal afstandje. De coördinaten x_i van alle punten die het eerste paadje vormden zijn allemaal δ verplaatst en het tweede paadje bestaat daarom uit allemaal punten met coördinaten x_i + δx_i. Volgens de integraal van vergelijking (9.1) kunnen we ook van het tweede paadje de lengte uitrekenen en deze lengte noemen we l + δl. Indien δl > 0, dan is het tweede paadje langer. Indien δl < 0, dan is het tweede paadje korter. Maar indien δl = 0 dan hebben we iets bijzonders te pakken: een geodetische lijn. Oftewel, we zijn geïnteresseerd in de lijnen waarvoor geldt:

En Einstein benadrukt nog weer dat het interval ds onafhankelijk is van het coördinatenstelsel dat we kiezen (ds is invariant), en daarmee ook δl. Er zit nog wel een belangrijke kanttekening aan dit hele verhaal die ik nu ga maken. Stel je hebt een ‘doodgewone’ kromme: y = f (x):

Wanneer ik deze functie ga differentiëren en vervolgens de verkregen afgeleide nul stel dan krijg ik drie oplossingen. Die drie oplossingen zijn de x-waarden van de punten A, B en C, zie de grafiek hieronder: Als mij vooraf was verteld dat de kromme een maximum heeft, dan weet ik nu dat het maximum één van de punten A, B of C moet zijn. Met andere woorden, voor een maximum geldt dat de afgeleide daar nul is, maar indien de afgeleide nul is dan hoeft daar nog geen maximum te zijn. En voor een minimum geldt uiteraard precies dezelfde redenering. Er is dus extra onderzoek nodig om te bepalen of een bepaald punt een maximum of een minimum is. Voor de kortste lijn tussen twee punten geldt hetzelfde verhaal. Vergelijking (9.2/E20) levert de vergelijkingen op van geodetische lijnen, maar dit hoeven niet de kortste lijnen te zijn tussen twee punten. Stel je voor dat de Aarde de vorm zou hebben van een reusachtige cilinder. Ik stap op de fiets en vertrek via een kaarsrechte weg naar een dorpje dat vijf kilometer verderop ligt. Maar ik kan ook de andere kant op fietsen via een kaarsrechte weg en uiteindelijk na vele duizenden kilometers bij dat andere dorpje aankomen (ik ben dan via de ‘achterkant’ van de Aarde gefietst). Beide routes zijn geodetisch en voldoen aan vergelijking (9.2/E20), want indien ik onderweg ergens even zou afwijken van de kaarsrechte weg dan volg ik een langere route. Maar het is overduidelijk dat de ene route de kortste is en de andere niet. Afwijken van een geodetische lijn betekent dat de route langer wordt, maar dit wil nog niet zeggen dat een geodetische lijn de kortste route is. Dit onderscheid wordt nogal eens weggemoffeld door bijvoorbeeld te stellen dat de punten P₁ en P₂ ‘redelijk dicht bij elkaar liggen’ en daarmee wordt dan impliciet uitgesloten dat je via een ‘omweg’ (vergelijkbaar met fietsen via de ‘achterkant’ van de Aarde) van het ene punt naar het andere punt gaat. Toch wel belangrijk om je dit te realiseren.

De afstand tussen de punten P₁ en P₂ is het verschil in de coördinaten tussen beide punten: dx_i. Voor de lijn die er vlak bij ligt (een afstandje δ ‘verderop’) is het verschil in de coördinaten d(x_i + δx_i) = dx_i + dδx_i. De punten op de naastgelegen lijn noem ik P₁^* en P₂^*: Uit de vergelijkingen (9.3c) en (9.3d) volgt: Einstein komt met een functie λ op de proppen, en λ is een functie van de coördinaten x^ν: De functie λ vertegenwoordigt alle krommes die door de punten P₁ en P₂ gaan. Eén van die krommes is de kromme die we zoeken: de geodetische lijn. En hierbij dient opgemerkt te worden dat de coördinaten x^ν op hun beurt natuurlijk ook als een functie van λ te schrijven zijn. Verder hebben we de inmiddels overbekende vergelijking voor het interval ds: En deze laatste vergelijking ga ik wat verbouwen: Waarbij geldt voor ω: Verder is er niets op tegen om in vergelijking (9.2/E20) de δ operator binnen de integraal te brengen. Net als de d en de ∂ is de δ een differentieer-achtig ‘ding’, en of je de integraal neemt van een afgeleide of de afgeleide van een integraal maakt niets uit: En dit gaan we combineren met vergelijking (9.7): Met in ons achterhoofd vergelijking (9.8b): Laten we eerst δω eens uitwerken: En met vergelijking (9.4) in gedachten kunnen we ook schrijven: En dit resultaat stoppen we in vergelijking (9.10/E20a): Waarbij Einstein ons nog even op het volgende wijst: En nu zijn we weer op een punt beland dat we een kolossale puinhoop voor ons hebben waar geen uitweg uit mogelijk lijkt. Het wemelt van de variabelen, indices en differentiaal-operatoren en nu zoeken we een uitgang uit deze doolhof. We gaan ons eerst op de rechterintegraal richten en die gaan we partieel integreren. Daarom even een klein intermezzo over partieel integreren. Vanuit het differentiëren kennen we de productregel en die gebruiken we indien een functie bestaat uit het product van twee andere functies: Oftewel: Dit kan ik ook anders opschrijven, waarbij ik gelijk de functie-van-x-aanduidingen weglaat: Nu ga ik alles integreren: De integraal van de afgeleide is uiteraard weer de oorspronkelijke functie: En tenslotte bereik ik mijn einddoel door een integraal naar de andere kant te brengen: Ik zal een voorbeeld geven hoe dit in de praktijk uitwerkt: Zoals gezegd gaan we dit loslaten op de rechterintegraal van vergelijking (9.13): We zoeken de kortste van alle lijnen die P₁ en P₂ met elkaar verbinden. Van al die lijnen weten we één ding zeker: ze beginnen in P₁ en eindigen in P₂. Met andere woorden, aan het begin en aan het einde van iedere lijn is δx^ν = 0. Dit betekent dat die hele term die hierboven gelijk rechts van het =-teken staat wegvalt, want aan de grenzen van die integraal is δx^ν = 0. Vergelijking (9.21) versimpelt daardoor tot: En dit stoppen we weer terug in vergelijking (9.13) en we brengen het weer onder één integraalteken: Waarin x_σ gelijk is aan: En omdat λ een willekeurige parameter is, en omdat δx^σ ook (letterlijk) alle kanten op kan gaan, kan de integraal van vergelijking (9.23/E20b) alleen nul worden indien: Hieruit volgt dat vergelijking (9.25/E20c) de voorwaarde is waaraan een geodetische lijn moet voldoen, dus vergelijking (9.25/E20c) is de vergelijking van de geodetische lijn die we zoeken. Zoals gezegd is λ een willekeurige parameter en niets verbiedt ons om hiervoor de booglengte s als parameter te kiezen. Wanneer we dit doen, en gebruik makend van vergelijking (9.7), volgt daaruit: En dit gaan we gebruiken in vergelijking (9.24/E20b): Volgens vergelijking (9.25/E20c) moet dit nul zijn, en we gaan vervolgens differentiëren om de haakjes weg te werken. En tenslotte de laatste truc, ik hak de tweede term in twee gelijke stukken: Dit kan ik ook schrijven als:

Hierin is [μν, σ] het Christoffel-symbool van de eerste soort, vernoemd naar de Duitse wis- en natuurkundige Christoffel. De definitie is:

Enkele opmerkingen:

• Wat je vaak ziet, en wat Einstein ook doet, is dat de indices voor de komma (in dit geval μ en ν) hoog geschreven worden en de andere index (in dit geval σ) wordt eronder geschreven. Ik schrijf dat ook op die manier in alle vergelijkingen, maar in de tekst schrijf ik de indices op gelijke hoogte, dus [μν, σ], omdat dat in HTML niet anders kan.
• Het Christoffel-symbool van de eerste soort is symmetrisch met betrekking tot de eerste twee indices μ en ν.
• Indien de componenten van de metrische tensor g constant zijn dan is het Christoffel-symbool van de eerste soort gelijk aan nul (want alle afgeleiden zijn dan nul).
• Het Christoffel-symbool van de eerste soort is geen tensor.

Als er Christoffel-symbolen van de eerste soort zijn, dan zijn er natuurlijk ook Christoffel-symbolen van de tweede soort. Deze ontstaan door de Christoffel-symbolen van de eerste soort te vermenigvuldigen met de contravariante versie van de metrische tensor. Dat brengen we gelijk in de praktijk en daarom nemen we vergelijking (9.30/E20d) en vermenigvuldigen die met de contravariante versie van de metrische tensor. Dit brengt ons bij de uiteindelijke vergelijking van de geodetische lijn: Er geldt dus: De eigenschappen die ik zojuist opsomde met betrekking tot de Christoffel-symbolen van de eerste soort gelden dus in zijn algemeenheid voor alle Christoffel-symbolen:

• Wat je vaak ziet, en wat Einstein ook doet, is dat de indices voor de komma hoog geschreven worden en de andere index wordt eronder geschreven. Ik schrijf dat ook op die manier in alle vergelijkingen, maar in de tekst schrijf ik de indices op gelijke hoogte, dus {μν, τ}, omdat dat in HTML niet anders kan.
• De Christoffel-symbolen zijn symmetrisch met betrekking tot de eerste twee indices.
• Indien de componenten van de metrische tensor g constant zijn dan zijn de Christoffel-symbolen gelijk aan nul (want alle afgeleiden zijn dan nul).
• De Christoffel-symbolen zijn geen tensoren.

Als laatste wil ik nog opmerken dat de Christoffel-symbolen ook wel aangeduid worden met de letter Γ als volgt: Nu doe ik nog even een stapje terug om eens goed naar de vergelijking van de geodetische lijn te kijken: Laten we nu eens even een ‘gewone’ rechte lijn bekijken: De vergelijking van deze rechte lijn is y = ax + b. Door hiervan de eerste afgeleide te nemen vind ik het hellingsgetal: dy/dx = a. En door nogmaals te differentiëren kom ik tot de tweede afgeleide en die is nul: d²y/dx² = 0. Oftewel, indien de tweede afgeleide niet gelijk aan nul zou zijn dan hebben we ook niet te maken met een rechte lijn, maar iets willekeurig anders. En deze tweede afgeleide vind ik terug als linkerterm in vergelijking (9.32/E22). Dit is dus vrij simpel in te zien. De kortste verbinding tussen twee punten is een rechte lijn en een rechte lijn kenmerkt zich doordat de tweede afgeleide daarvan gelijk is aan nul.

Maar hoe zit het dan precies met de rechterterm van vergelijking (9.32/E22)? In paragraaf 4 hebben we al gezien dat een vlakke ruimte een metrische tensor heeft die is gevuld met getallen en zoals ik net heb gezegd zijn de Christoffel-symbolen nul indien de componenten van de metrische tensor bestaan uit constanten. Want de Christoffel-symbolen bestaan uit afgeleiden van de metrische tensor, dus wanneer de componenten van de metrische tensor constant zijn dan zijn de afgeleiden nul en daarmee ook de Christoffel-symbolen. En in dat geval valt de hele rechterterm van vergelijking (9.32/E22) weg (die is dan gelijk aan nul).