Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

Dit is de Riemann-tensor:

De Riemann-tensor volgens vergelijking (1) is gegeven in Christoffel-symbolen. De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:
We kunnen op drie manieren een contractie uitvoeren op de Riemann-tensor. Een contractie voeren we uit door een hoge index en een lage index aan elkaar gelijk te stellen. Echter, er zijn drie benedenindices, en welke gaan we nu gebruiken voor de contractie? Er is anti-symmetrie in de eerste twee indices, dus een contractie over die twee indices levert allemaal nullen op. Dat ga ik laten zien en daarvoor ga ik de Riemann-tensor volledig uitschrijven in componenten van de metrische tensor door vergelijking (3) in te vullen in vergelijking (1) en vervolgens de boel wat te reorganiseren:
Ik kan twee termen tegen elkaar wegstrepen:
Vervolgens stel ik β gelijk aan α om de contractie uit te voeren:
Nu is α ook een dummy index geworden en mag ik die, per term, naar believen verwisselen met een andere dummy index. En dit geldt natuurlijk ook voor de andere dummy indices onderling. Het is een enorm gepuzzel, maar uiteindelijk ontstaat er dit:
Nu kan ik bijna alle termen tegen elkaar wegstrepen:
Met deze kennis in ons achterhoofd:
En omdat:
Hiermee wordt vergelijking (9):
Dit resultaat stop ik in vergelijking (8):
Ik verwissel de dummy indices in de linkerterm:
Waarmee bewezen is dat er anti-symmetrie is in de eerste twee indices en dat een contractie tussen die twee indices allemaal nullen oplevert. Een contractie uitvoeren tussen de eerste - en de tweede index is dus een zinloze exercitie.

Dan resten er nog twee opties: een contractie tussen de eerste - en de derde index of een contractie tussen de eerste - en de vierde index. De Riemann-tensor is ook anti-symmetrisch in de laatste twee indices, dus het verschil tussen deze beide opties is een minteken:
De toepassing van de Riemann-tensor, en met name de contractie daarvan, is een hoeksteen van de algemene relativiteitstheorie. En als er iets verwarrend is binnen de algemene relativiteitstheorie dan is het wel het gebruik van mintekens. Neem bijvoorbeeld iets relatief simpels als het interval:
Dat wordt ook heel vaak zo geschreven:
De vergelijkingen (15) en (16) verschillen van teken! Dit is iets waar je altijd voor op je hoede moet zijn, want in ieder boek kan het weer anders zijn. Einstein en Schrödinger bijvoorbeeld gebruiken vergelijking (15), maar Pauli en Weinberg gebruiken (16), en inderdaad, alle vier zijn ze Nobel-prijswinnaars.

Met de contractie van de Riemann-tensor is het niet anders. Ik ben eens even in mijn boekenkast gedoken en de volgende auteurs voeren de contractie uit tussen de eerste - en de derde index:

En deze auteurs voeren de contractie uit tussen de eerste - en de vierde index:

Sorry Einstein, de meeste stemmen gelden, dus het wordt een contractie tussen de eerste - en de derde index:

Deze tensor die aldus ontstaat noemen we de Ricci-tensor. Uitgeschreven in Christoffel-symbolen ziet die er zo uit:

En helemaal uitgeschreven in componenten van de metrische tensor ziet dat er zo uit (vergelijking (4), maar dan met γ = α):
Ik kan twee termen tegen elkaar wegstrepen:
Vergelijking (11) ga ik inzetten om de eerste zes termen anders te kunnen opschrijven:
Omdat de index α een dummy index is binnen de Ricci-tensor heb ik veel mogelijkheden om met de indices te manipuleren:
Waardoor ik de nodige termen tegen elkaar kan wegstrepen of kan samennemen:
Ik kan nog het een en ander buiten haakjes brengen:
In al zijn verschijningsvormen is dit de Ricci-tensor:
Dit ziet er weliswaar nog redelijk compact uit, maar merk op dat de dummy indices een sommering vereisen en dat daarmee het aantal termen explosief toeneemt. Wanneer we uitgaan van vier dimensies, dan bestaan de eerste vier termen (twee dummy indices) stuk voor stuk uit 42 = 16 termen en de overige negen termen (vier dummy indices) bestaan uit 44 = 256 termen. In totaal bestaat iedere component van de Ricci-tensor, indien ik die volledig uitschrijf in componenten van de metrische tensor, uit 4 × 16 + 9 × 256 = 2368 termen!