Kinetische energie

Bereken de kinetische energie van een voorwerp.
Je verricht (een klein beetje) arbeid dW wanneer je een kracht F uitoefent op een voorwerp en vervolgens dat voorwerp daarmee een klein stukje ds verplaatst:
Kracht en verplaatsing zijn allebei vectorgrootheden en ik heb het als inwendig product geschreven, omdat het gaat om de component van de kracht in de richting van de verplaatsing. Wanneer we er even vanuit gaan dat de gehele kracht in de richting van de verplaatsing werkt dan kan ik de vectoraanduidingen weglaten:
Wil ik de verrichte arbeid weten over het gehele traject dan moet ik integreren:

Zoals Newton lang geleden haarfijn bedacht heeft is kracht gelijk aan impulsverandering in de tijd:

En impuls is het product van massa en snelheid:

Laten we eerst even klassiek kijken, dan is massa simpelweg massa:

Met al deze informatie kan ik vergelijking (3) als volgt schrijven en uitwerken:
Laten we aannemen dat het voorwerp aanvankelijk in rust was, dus de beginsnelheid was nul, en een eindsnelheid gelijk aan v krijgt. Dan is de verrichte arbeid:
Deze uitgeoefende arbeid wordt door het voorwerp ‘geabsorbeerd’ als bewegingsenergie en dat noemen we dan heel netjes “kinetische energie”:
Relativistisch bekeken liggen de zaken iets gecompliceerder en geldt voor de massa:
Met deze nieuwe informatie kan ik vergelijking (3) als volgt schrijven en uitwerken:
Ik zoek de integraal op in de tabel met integralen, en ik neem weer aan dat het voorwerp aanvankelijk in rust was en een eindsnelheid gelijk aan v krijgt:
De kinetische energie van het voorwerp is wederom gelijk aan deze geïnvesteerde arbeid:
Het is interessant om dit te ontwikkelen in een Taylor-reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:
Hiermee kan ik vergelijking (13) ook schrijven als:
Hieruit blijkt duidelijk dat het klassieke begrip van kinetische energie slechts een eerste orde benadering is, de linkerterm, van de relativistische werkelijkheid.

Kinetische energie als functie van v/c voor m0 = 1 kg,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)