Vectoren, vraagstuk 67

Gegeven het vectorveld:



Verder is gegeven een rechte cilinder met straal 1 en de z-as als as, inclusief de bodem op hoogte z = −1 en deksel op hoogte z = 1.
  1. Bereken v (in Cartesische coördinaten).
  2. Gebruik dit antwoord om v in cilindercoördinaten te schrijven.
  3. Bereken de volgende integraal met behulp van de stelling van Gauss:

  1. Bereken v (in Cartesische coördinaten).

    kennen we als volgt:



    En het vectorveld kunnen we schrijven als:



    Dan wordt het inwendig product van deze twee vectoren:


  2. Gebruik dit antwoord om v in cilindercoördinaten te schrijven.

    Voor cilindercoördinaten geldt:



    Waaruit volgt:


  3. Bereken de volgende integraal met behulp van de stelling van Gauss:

    Volgens meneer Gauss geldt de stelling van Gauss:



    In cilindercoördinaten geldt voor een volumestukje dV:



    En van de cilinder is gegeven:







    De uitwerking van de integraal wordt dan: