Algemene natuurkunde, vraagstuk 1

Leid de algemene golfvergelijking af.
Stel ik heb een touw, en dat touw is aan beide uiteinden vastgebonden. Ik zorg dat het touw flink strak staat en daardoor werkt er een kracht op het touw (lees: in het touw) ter grootte van F. Vervolgens pak ik het touw ergens vast, ik geef het een uitwijking in verticale richting en vervolgens laat ik het weer los. De verticale uitwijking zal zich nu in horizontale richting door het touw gaan verplaatsen, als golfbeweging, en dat aspect gaan we nader onderzoeken. Ik zoom in op een heel klein stukje van het touw:
Voor de helling van het touw geldt:
De helling van het touw bij x1 is:
En de helling van het touw bij x2 is:
Het verschil tussen beide hellingen is:
Voor kleine verticale uitwijkingen geldt dat tangens φ (nagenoeg) gelijk is aan sinus φ (en mocht de verticale uitwijking niet klein zijn, dan roteer ik simpelweg mijn assenstelsel zodanig dat de verticale uitwijking wel klein is):
En F1 = F2 = F, want het gaat in de noemers van vergelijking (5) puur om de grootte van die krachten en niet om de richting (en ik verwaarloos de wrijving). Vergelijking (5) wordt dan:
In het geval dat x2 nadert naar x1 gaat vergelijking (6) over in:
Hetgeen ik ook kan schrijven als:

Vervolgens ga ik Newton’s wet F = ma toepassen:

Ik introduceer ρ als massadichtheid van het touw:
Tenslotte differentieer ik deze vergelijking naar de tijd:
Zoals gezegd verwaarloos ik de wrijving, dus F = constant, en ik ga er ook van uit dat het touw zijn vorm behoudt en dat daarmee de massadichtheid ρ constant is. Het quotiënt van beide is dan uiteraard ook constant en dat quotiënt noem ik K:
In vergelijking (12) is vy de snelheid van het touw in de y-richting en deze grootheid ga ik veralgemeniseren en vervolgens buiten haakjes brengen:
Die tweede afgeleide naar x kan ik middels de nabla-operator veralgemeniseren naar drie dimensies:

En met behulp van d'Alembertiaan kan ik dit nog compacter opschrijven als volgt:

Ziehier de algemene golfvergelijking: