Vectoren, vraagstuk 97
Dat het
inwendig product invariant is
wordt eigenlijk al duidelijk wanneer je naar de definitie kijkt:
Het enige dat hier in voorkomt zijn de groottes van de beide
vectoren en de
cosinus van de hoek tussen de beide vectoren.
Ongeacht hoe ik mijn coördinaten aanleg, daarmee verandert er natuurlijk niets aan de groottes van de
vectoren en ook niets aan de hoek die ze insluiten.
Ik kan vergelijking (1) iets anders opschrijven:
De term tussen haakjes is de projectie van de ene vector op de andere zoals onderstaand plaatje laat zien.
Ook hieruit blijkt geen enkele afhankelijkheid van coördinaten of assen.
Met behulp van de metrische tensor g kan ik het
inwendig product uitschrijven
in de componenten van de beide
vectoren:
Laat ik dit eens in twee dimensies uitwerken.
De
covariante componenten van
v zijn:
En de
contravariante componenten van
w zijn:
Hierin is α de hoek tussen de coördinaatassen en β is de hoek die de
vector maakt met één der coördinaatassen.
Het
inwendig product van
v
en
w wordt dan:
Met behulp van de
som-/verschilformules
uit de
goniometrie wordt vergelijking (6) tenslotte:
Kijk, zo kom ik weer uit bij de definitie van het
inwendig product, iedere
coördinaatafhankelijkheid is eruit gevallen en dus is er invariantie.
