Vectoren, vraagstuk 97

Laat op verschillende manieren zien dat het inwendig product invariant is.
Dat het inwendig product invariant is wordt eigenlijk al duidelijk wanneer je naar de definitie kijkt:
Het enige dat hier in voorkomt zijn de groottes van de beide vectoren en de cosinus van de hoek tussen de beide vectoren. Ongeacht hoe ik mijn coördinaten aanleg, daarmee verandert er natuurlijk niets aan de groottes van de vectoren en ook niets aan de hoek die ze insluiten. Ik kan vergelijking (1) iets anders opschrijven:
De term tussen haakjes is de projectie van de ene vector op de andere zoals onderstaand plaatje laat zien.
Ook hieruit blijkt geen enkele afhankelijkheid van coördinaten of assen. Met behulp van de metrische tensor g kan ik het inwendig product uitschrijven in de componenten van de beide vectoren:
Laat ik dit eens in twee dimensies uitwerken.
De covariante componenten van v zijn:

En de contravariante componenten van w zijn:

Hierin is α de hoek tussen de coördinaatassen en β is de hoek die de vector maakt met één der coördinaatassen. Het inwendig product van v en w wordt dan:
Met behulp van de som-/verschilformules uit de goniometrie wordt vergelijking (6) tenslotte:
Kijk, zo kom ik weer uit bij de definitie van het inwendig product, iedere coördinaatafhankelijkheid is eruit gevallen en dus is er invariantie.