De Taylor-reeks van
f (x) = ex


De grafiek van f (x) = ex
Om te beginnen ga ik eerst vijf afgeleiden bepalen:




Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0:





De polynoom-coëfficiënten worden dan:





De regelmaat hierin is:
Hetgeen ons brengt bij deze reeks:
Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Deze reeks convergeert dus altijd, maar daar hoort wel een kanttekening bij. Het uitdoven van de termen begint namelijk pas wanneer n + 1 > | x |, oftewel n > | x | − 1. Voor grote waarden van | x | moeten er dus heel wat termen meegenomen worden.

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks met 10 termen (de oranje lijn),
20 termen (de paarse lijn), 50 termen (de grijze lijn) en 100 termen (de blauwe lijn)