Relativiteitstheorie, vraagstuk 11

Laat zien dat absolute gelijktijdigheid niet bestaat en dat relatieve beweging onvermijdelijk leidt tot tijddilatatie en lengtecontractie.
Stel een persoon P staat ergens. Wat die persoon op een bepaald moment q visueel waarneemt zijn de lichtstralen die op dat moment q vanuit alle richtingen zijn netvliezen bereiken:


Figuur 1
Al die lichtstralen die van alle kanten op die persoon afstormen vanaf talloze gebeurtenissen noemen we lichtkegels (iedere gebeurtenis genereert één lichtkegel). Zo ziet voor hem op dat moment de wereld er uit en onbewust zal die persoon denken “dit gebeurt allemaal nu op dit moment”. Echter, na enig nadenken zal het besef komen dat alles wat hij ziet enige tijd geleden heeft plaatsgevonden want al die lichtstralen hebben een bepaalde tijd nodig gehad om vanaf de diverse gebeurtenissen waar hij getuige van is tot hem te komen. Dus alles wat hij ziet is niet nu maar behoort reeds allemaal tot het verleden. Hij staat alleen maar dingen waar te nemen die eigenlijk al in de geschiedenisboekjes thuishoren!

Nadat hij van deze schok bekomen is durft deze persoon wellicht nog verder na te denken en vraagt zich af “wanneer is dit alles dan gebeurd?”. Dat hangt af van de afstand tusen de persoon en de gebeurtenis. Hij ziet wellicht zowel de Zon als de Maan, maar hij ziet de Maan zoals die ruim een seconde geleden was terwijl het beeld van de Zon al meer dan acht minuten oud is. Alleen de gebeurtenissen die op gelijke afstand van hem hebben plaatsgevonden zijn ook werkelijk gelijktijdig gebeurd, zoals deze gebeurtenissen a en b:


Figuur 2
De gebeurtenissen a en b zijn voor de persoon P gelijktijdig voorgevallen. Met andere woorden, de lijnen die evenwijdig lopen aan de ruimte-as zijn de lijnen die gelijktijdigheid aangeven.

We gaan direct voortborduren op het concept van gelijktijdigheid door twee verticale lijnen te trekken door de gebeurtenissen a en b:


Figuur 3
Deze twee lijnen lopen evenwijdig aan de tijd-as en geven gelijke afstanden aan ten opzichte van de persoon P. Met al deze wijsheid kunnen we tenslotte het volgende rooster tekenen voor een willekeurige stilstaande waarnemer W:


Figuur 4
Voor de waarnemer W zijn alle lijnen die evenwijdig lopen aan de ruimte-as lijnen die gelijktijdigheid aangeven, en alle lijnen die evenwijdig lopen aan de tijd-as zijn lijnen die gelijke afstanden aangeven. Overal in de ruimtetijd zijn de tijdlijnen en ruimtelijnen kaarsrecht en staan ze keurig loodrecht op elkaar.

Onze waarnemer W staat daar gewoon te staan en besluit wat te gaan doen met een lampje en spiegeltjes. Hij zet links van hem een spiegeltje neer en rechts van hem zet hij ook een spiegeltje neer. Vervolgens sluit hij het lampje aan en dit lampje flitst zo nu en dan even kort aan. Het licht van het lampje verspreidt zich naar alle kanten en de lichtstralen die op de beide spiegeltjes terecht komen kaatsen weer terug naar de waarnemer W:


Figuur 5
Het punt a markeert de gebeurtenis dat het lampje even aan flitst. De stippellijnen geven de lichtkegel aan die dat tot gevolg heeft. Bij b en c worden de lichtstralen weerkaatst door het linkerspiegeltje respectievelijk het rechterspiegeltje om tenslotte bij het punt d weer samen te komen bij W. Dit bevestigt voor de waarnemer W dat de spiegeltjes inderdaad op gelijke afstanden van hem staan want anders zouden de lichtstralen niet op hetzelfde moment (d) bij hem terugkeren. De tijd die voor W verstrijkt vanaf het moment dat het lampje flitst totdat de lichtstralen bij d weer bij hem terugkeren is de afstand ad en die noemen we ∆t:

Een groepje aliens is op doorreis door ons zonnestelsel en houdt ergens in de buurt van de Aarde even halt voor wat ontspanning. Zij zien de Aarde voorbijsuizen in haar baan om de Zon en ze zien ook dat W met zijn lampje en zijn spiegeltjes aan het spelen is. Vanuit hun positie bezien is W in beweging en dat nemen zij zo waar:



Figuur 6
En de spiegeltjes bewegen uiteraard met hem mee op een constante afstand van W:


Figuur 7
Bovendien gaat het lichtspelletje ook gewoon door:


Figuur 8
De lichtstralen verlaten in a het lampje en keren keurig gelijktijdig terug bij W in d. Maar we zien ook iets raars omdat de gebeurtenissen b en c, het kaatsen van de lichtstralen op de spiegeltjes, niet meer op een horizontale lijn liggen:


Figuur 9
De lijn die de gebeurtenissen b en c verbindt, de lijn van gelijktijdigheid van W, helt omhoog en de lijn die de gebeurtenissen a en d verbindt, de tijd-as van W, helt naar rechts. Omdat de lijn van gelijktijdigheid van W niet horizontaal loopt voor de aliens zijn de gebeurtenissen b en c voor hen niet gelijktijdig. Met andere woorden, gelijktijdigheid is waarnemer-afhankelijk en het ruimtetijdrooster van W, dat er eerst nog zo keurig uitzag met allemaal hoeken van 90 graden (zie figuur 4), ziet er voor de aliens uit als een eierrekje dat een flinke trap heeft gekregen:


Figuur 10
Wat ik zojuist aanduidde met ruimtetijdrooster noemen we officieel een referentiestelsel. En alles klopt nog met wat we hiervoor geleerd hebben. Dat kan ik laten zien door er een lichtstraal bij in te tekenen:


Figuur 11
In het punt r klieft de lichtstraal precies de hoek tussen de tijd-as en de ruimte-as van het referentiestelsel van de aliens (zoals het moet zijn) en in het punt s klieft de lichtstraal ook precies de hoek tussen de tijd-as en ruimte-as van het referentiestelsel van W (zoals het ook moet zijn). Conclusie: in een bewegend referentiestelsel bewegen beide assen zich over dezelfde hoek naar elkaar toe en deze hoek neemt toe met de snelheid.

En dan komt nu nog de onvermijdelijke (toch?) vraag: hoe reken je de maatverdelingen op de assen in het ene referentiestelsel om naar de maatverdelingen op de assen in het andere referentiestelsel? De afstand van a naar d is volgens waarnemer W:



We weten nog niet hoe de aliens dit zien maar laten we even aannemen dat de aliens zeggen:



Er is een discrepantie:


Figuur 12
Stel dat meneer W en de aliens het erover eens kunnen worden dat gebeurtenis a in beide referentiestelsels samenviel dan zal er discussie ontstaan over gebeurtenis d. De aliens zullen claimen dat in de tijd dat de lichtstraal van a naar d onderweg was, het punt d iets naar rechts bewogen is (het rechterpunt d in bovenstaande figuur, ik noem dat vanaf nu het punt d'). Voor de aliens beweegt W met alles erop en eraan naar rechts met een snelheid v en heeft d een afstand afgelegd gelijk aan:



We gaan er van uit dat alle snelheden zijn genormaliseerd naar de lichtsnelheid c zodat lichtstralen altijd onder een hoek van 45 graden voortbewegen. Die normalisatie naar c moeten we nu ook meenemen:



De verhouding v/c noem ik β:

Aldus ontstaat een driehoek a-d-d' waarop we de stelling van Pythagoras kunnen toepassen:

Verder introduceer ik hier de Lorentz-factor γ:

Zodat geldt:

Wanneer er bij W een aantal tijdseenheden verstreken zijn gelijk aan t, dan zijn er bij de aliens γ zo veel tijdseenheden verstreken, namelijk τ. Dus 1 seconde bij W komt bijvoorbeeld overeen met 1.3 seconden bij de aliens. Voor de aliens gaat de tijd bij W langzamer. De Lorentz-factor zegt in welke mate klokken, die ten opzichte van elkaar bewegen, met elkaar uit de pas gaan lopen en dit bijzondere verschijnsel heet tijddilatatie. En voor “klokken” kun je ook lezen “referentiestelsels”. Het onbevattelijke hieraan is dat vanuit meneer W precies de omgekeerde redering geldig is. Hij zal zeggen dat de aliens bewegen en dat hun referentiestelsel eruit ziet als een vervormd eierrekje. Alle berekeningen kunnen door hem overgedaan worden met precies het tegenovergestelde resultaat:



De aliens zien de tijd bij meneer W langzamer gaan en W ziet dat de tijd bij de aliens langzamer gaat. Het is echt waar!

De laatste etappe is dan nog maar een kleine stap. Zo ziet de wereld er uit voor meneer W:


Figuur 5
En zo ziet de wereld er uit volgens de aliens:


Figuur 8
Over elkanders tijdsbeleving bestaat een diepe onenigheid, maar waar W en de aliens het wel over eens zijn: Omdat de diagonalen ad en bc van de rechthoek even lang zijn betekent dit dat het korter of langer worden van de ene diagonaal gepaard moet gaan met het korter of langer worden van de andere diagonaal. Dit geeft de aliens de overtuiging:



Terwijl W de rotsvaste overtuiging heeft:



De aliens zien alle afstanden bij meneer W met een factor γ verkort en W neemt hetzelfde waar bij de aliens. Dit verschijnsel heet lengtecontractie.

In de vierdimensionale ruimtetijd zien twee partijen die ten opzichte van elkaar met een constante snelheid v bewegen de tijd en de ruimte bij de ander met een factor γ krimpen!