Elektriciteit en magnetisme, vraagstuk 9

Vind een algemene oplossing voor de wet van Poisson.

Dit is de wet van Poisson:


Green

(Credits:
findagrave.com)

Om hiervoor een oplossing te vinden maak ik gebruik van de stelling van Green:

Hierin zijn S en T twee scalarvelden. Voor het ene scalarveld kies ik (uiteraard) φ:
En voor het andere scalarveld kies ik een verzameling punten waarvan ieder punt voldoet aan:
En r is de afstand tot de oorsprong, en in die oorsprong bevindt zich het punt waarvan ik de potentiaal wil bepalen (lees: de wet van Poisson wil oplossen). Vergelijking (2) komt er dan zo uit te zien:
De wet van Poisson kan ik nu zo invullen:
Ik pak twee termen eruit en die ga ik even apart uitwerken:

Hiermee wordt vergelijking (6):
Zo, ik ben alvast één term kwijt en het ziet er sowieso al een stuk overzichtelijker uit. Hoogste tijd om eens na te gaan denken over de grenzen van de integralen. Mijn uiteindelijke doel is om een uitdrukking te vinden voor de potentiaal in de oorsprong. Om die oorsprong leg ik twee bolvormige oppervlakken aan met stralen r1 en r2 (r2 > r1).
Voor de duidelijkheid maak ik even een dwarsdoorsnede:
Die twee bollen vormen samen het oppervlak van de oppervlakteintegraal (het linkerlid van vergelijking (8)) en de ruimte tussen de twee bollen is het volume van de volumeintegraal (het rechterlid van vergelijking (8), het groene vlak in het bovenstaande plaatje):
Merk op dat bij de linkerintegraal het minteken is verdwenen, omdat de normaalvector op het oppervlak daar naar de oorsprong wijst. Dan komt nu de grote truc: ik ga de limieten nemen van r1 gaat naar nul en r2 gaat naar oneindig:
Van die positievectoren r maak ik eenheidsvectoren en voor de gradiënt van φ schrijf ik E, want het statische elektrische veld is de gradiënt van de potentiaal φ en ikzelf heb ook plaatsgenomen in de oorsprong, dus alles is zo statisch als maar zijn kan:
Die vier integralen uit het linkerlid neem ik even apart door. Het oppervlak waarover geïntegreerd moet worden is (uiteraard) evenredig met r2 (het oppervlak van een bol is 4πr2) en r is een constante voor het gehele oppervlak en kan daarom buiten de integralen gehaald worden.

Bij de eerste integraal staat een factor r2 in de noemer. Die beide r2’s heffen elkaar op en in de limietovergang dat r1 naar nul gaat wordt het bolletje gereduceerd tot een punt en is φ de potentiaal in dat enkele punt (= de oorsprong = O). Het resultaat van de eerste integraal wordt:

Bij de tweede integraal kan uiteraard ook die r in de noemer buiten de integraal gehaald worden en wat er dan overblijft is de eerste wet van Maxwell = de wet van Gauss = de wet van De Coulomb in integraalvorm. Wanneer r naar nul nadert dan is er geen omsloten lading meer (die wordt nul) en het omsluitende oppervlak gaat ook naar nul. Het resultaat van deze integraal wordt nul in de limietovergang dat r1 naar nul gaat:

Bij de derde integraal staat er r2 in de noemer terwijl het oppervlak toeneemt met r2. De uitkomst van deze integraal hangt daarom af van het verloop van de potentiaal φ en gevoelsmatig zou het wel heel raar zijn als die zou toenemen met de afstand. Maar goed, wetenschap gaat niet over gevoel maar over keiharde feiten en keiharde logica. Wat wel een keiharde indicator is, is dat het uitrekenen van de potentiaal van een puntlading vrij simpel is (een kwestie van de wet van De Coulomb integreren naar r) en die neemt af met de afstand (φ is evenredig met 1/r). Bovendien, indien φ zou toenemen met de afstand dan zou er ergens ook een gigantisch potentiaalverschil ontstaan. Met andere woorden, door hier wat lading op een hoop te gooien worden elders talloze aliens geëlektrocuteerd of ontstaat er bliksem in een afgelegen sterrenstelsel. Dat is allemaal heel erg onfysisch, deze integraal levert uiteindelijk echt wel nul op:
Het elektrische veld neemt af met de afstand in het kwadraat (de wet van De Coulomb) en met een extra factor 1/r wordt dat dan een afname evenredig met r3. Het oppervlak neemt toe met r2, waaruit volgt dat indien r naar oneindig gaat de vierde integraal ook nul wordt:
Deze vier resultaten pak ik samen en stop ik terug in vergelijking (11);
Ik heb de potentiaal φ bepaald in de oorsprong, maar het is nu een kleine moeite om de potentiaal te vinden in een willekeurig punt door simpelweg de oorsprong naar dat willekeurige punt te verplaatsen:
Er staan nu twee soorten r in bovenstaande vergelijking, een r en een r'. Tijd voor een plaatje:
De coördinaat r is ten opzichte van een of andere oorsprong ten opzichte waarvan ik de potentiaal bepaald heb en de coördinaat r' beschrijft de ladingsverdeling ten opzichte van diezelfde oorsprong. In vergelijking (14) heb ik de afstand tussen het punt P en het stukje volume dV (waar de lading zit) als een verschil van twee vectoren geschreven, want dat ziet er het eleganst uit. Vervolgens heb ik de noemer wel tussen absoluutstrepen gezet, want het is helemaal geen vectorvergelijking, het gaat puur om de grootte van die afstand. Ik kan vergelijking (14) daarom ook als volgt opschrijven:
Hiervoor had ik het al even over de potentiaal volgend uit de wet van De Coulomb, die ga ik toch nog even uitrekenen voor een puntlading q in de oorsprong:
En vergelijk dit eens even met vergelijking (14) voor een puntlading in de oorsprong (r' = 0). Er is dan perfecte bolsymmetrie en q is onafhankelijk van r (want q is een puntlading), oftewel r kan buiten de integraal gehaald worden. Wat overblijft is de volumeintegraal van de ladingsdichtheid en dat levert dan uiteraard q op. In dit specifieke geval gaat vergelijking (14) dus naadloos over in vergelijking (16), precies zoals het hoort. Dit is toch wel verbazingwekkend, de wet van Poisson is een differentiaalvergelijking en daarvoor is een algemene oplossing te vinden zonder dat er ook maar iets bekend is over de ladingsverdeling!