De integraal van
f (x) = sinn (ax)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = sinn (ax)

De grafiek van f (x) = sinn (ax) voor n = −1 (de rode lijn),
n = −3 (de oranje lijn), n = −5 (de groene lijn),
n = −7 (de paarse lijn) en n = −9 (de blauwe lijn), a = 1
Voor het integreren van deze functie ga ik gebruik maken van partieel integreren:
Daarnaast dienen we de kettingregel van het differentiëren voor ogen te hebben:

De integraal wordt dan:
Nu zitten we nog steeds met een integraal opgescheept, maar toch helpt dit ons verder. Laten we eens n = −3 invullen:
De oplossing van de integraal van 1/sin x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
Vervolgens ga ik n = −5 invullen en direct het resultaat van n = −3 gebruiken:
En dit resultaat gebruik ik bij n = −7:
En tenslotte n = −9:
De uitdaging is uiteraard om hierin de regelmaat te vinden en op te schrijven. Dat doe ik voor n = −9:
Het dubbele faculteit-uitroepteken betekent dat alleen de oneven of even termen met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:

We kunnen het resultaat nog compacter schrijven als volgt:

De grafiek van F (x) voor n = −1 (de rode lijn),
n = −3 (de oranje lijn), n = −5 (de groene lijn),
n = −7 (de paarse lijn) en n = −9 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0