Integreren: y = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, y = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2



Deze integraal staat te boek als de elliptische integraal van de eerste soort. De enige manier om deze integraal tot een goed einde te brengen is middels reeksontwikkeling en daarom ga ik deze functie ontwikkelen in een Taylor-reeks:



De constanten ci bepaal ik als volgt:



Er zal dus een aantal malen gedifferentieerd moeten worden. Om dat proces zo simpel mogelijk te maken stel ik:









De afgeleiden hiervan zijn:









Daarmee kan ik de functie schrijven als:



Nou, daar gaan we dan. De eerste afgeleide wordt:



De tweede afgeleide:



De derde afgeleide:



De vierde afgeleide:



De vijfde afgeleide:



De zesde afgeleide:



De zevende afgeleide:





De achtste afgeleide:





De negende afgeleide:









En tot slot, dan vind ik het wel mooi geweest, de tiende afgeleide:









Nu ga ik overal nul invullen om de constanten ci te bepalen. Daarvoor dien ik te bedenken dat:







Uit het laatste volgt dus dat alle termen waar sinussen in voorkomen nul worden. Dan komen we tot het volgende resultaat:























Nu kan ik de functie schrijven als volgt:



Nu gaan we op zoek naar een bepaalde regelmaat in de constanten ci. Het is even puzzelen (best wel heel veel puzzelen eigenlijk), maar ik kan de functie ook schrijven als volgt:



Het dubbele faculteit-uitroepteken betekent dat alleen de oneven of even termen met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:



De “2k boven i” respectievelijk “2k boven j” zijn de binomiaalcoëfficiënten van het binomium van Newton:



De teller van de binomiaalcoëfficiënten kunnen we uitdelen en we moeten ook nog even bedenken dat:



Dit alles brengt ons uiteindelijk bij deze reeks:



Het integreren is nu natuurlijk nog maar een eitje. De integraal wordt dan:



Nog enkele opmerkingen tot slot. Er is ook nog een andere aanpak mogelijk voor deze integraal die in bepaalde gevallen voordeel biedt. Daarom stel ik:



Dan kan ik de functie schrijven als volgt:



En die ga ik vervolgens een aantal malen differentiëren:











De regelmaat wordt in dit geval al snel duidelijk:



Om de constanten ci te berekenen ben ik snel klaar, want voor u = 0 wordt (1 − u) gelijk aan één. Dus ik kan in één keer alle ci opschrijven:



De functie kan ik aldus schrijven als de volgende reeks:



De reeks ziet er nu een stuk simpeler uit, maar het integreren wordt wat lastiger. Voor de overzichtelijkheid schrijf ik een aantal termen voluit. De integraal wordt dan:



Dit gaan we term voor term integreren. De oplossingen van de integralen van al die sinussen kun je elders terugvinden in de tabel met standaardintegralen. Zo komen we tot de volgende oplossing:



De faculteiten kan ik ook anders opschrijven:





De oplossing van de integraal kan ik hiermee omschrijven als volgt: