Astronomie, vraagstuk 16

Bereken het traagheidsmoment van de Zon.
Massa is een maat voor de weerstand tegen snelheidsverandering. Mijn massa is ongeveer 85 kilogram, dus als je mij in beweging wilt krijgen, of juist tot stoppen wilt dwingen, dan zul je 85 kilogram weerstand moeten overwinnen. En daar zul je even je best voor moeten doen, en daarom spreken we in deze context ook wel over trage massa of traagheid.

Iets dat draait (of niet draait) heeft ook weerstand tegen snelheidsverandering (in dit geval de snelheid van het ronddraaien). Maar hier is nog een extra parameter in het spel, namelijk de afstand tot de rotatie-as. Wanneer je mij op een draaibaar plateau zet (in het midden) dan zul je veel minder moeite hebben om mij in beweging te krijgen, dan wanneer je mij in een draaimolen zet waarbij ik op een afstand van enkele meters van de rotatie-as zit (afgezien daarvan dat je dan ook nog de draaimolen in gang moet zetten). Deze weerstand heet het traagheidsmoment. De wiskundige definitie van het traagheidsmoment is:
Of in woorden: van een bepaald voorwerp met massa m moet ieder infinitesimale deelstukje dm vermenigvuldigd worden met het kwadraat van de loodrechte afstand tot de rotatie-as en vervolgens opgeteld worden voor alle deelstukjes dm. Met andere woorden: er moet geïntegreerd worden over de totale massa m.

In geval van een homogene ster kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale volume):
Waaruit volgt:
Door te differentiëren ontstaat:
Hier kan ik ook mee verder werken indien de ster niet homogeen is (dus wanneer de dichtheid een functie is van de coördinaten). Vergelijking (4) stop ik in vergelijking (1):
Omdat we te maken hebben met een bol ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten. Voor een stukje dV geldt dan:
Waarmee vergelijking (5) wordt:
De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene pool naar de andere. Ik kan daarom de volgende integratiegrenzen al invullen:
Voor de loodrechte afstand tot de rotatie-as kan ik schrijven:
Waarmee vergelijking (8) wordt:
En de integratiegrenzen van r zijn dan 0 en R (R is de straal van de ster):
Ik begin nu met de eerste integraal:
De oplossing van de integraal van cos3 x kun je vinden in de tabel met standaardintegralen. De tweede integraal wordt dan:
In het vorige vraagstuk heb ik de modellering van de dichtheid van de Zon besproken. NASA stelt hiervoor een polynoom beschikbaar:
Op diezelfde pagina opteerde ik ook voor twee verschillende e-machten:

Ik ga het traagheidsmoment op verschillende manieren berekenen, eerst volgens het NASA-polynoom:
En nu volgens de e-macht van vergelijking (15) waarbij ik wederom gebruik maak van de tabel met standaardintegralen:
En tenslotte volgens de e-macht van vergelijking (16) waarbij ik nogmaals gebruik maak van de tabel met standaardintegralen:
In dit vraagstuk heb ik het traagheidsmoment uitgerekend van een homogene perfect-ronde ster en dat leverde op:
De NASA Planetary Fact Sheet vermeldt ook het traagheidsmoment van de Zon (en dat zal dan de gemeten waarde zijn):
Indien je uitgaat van een homogene Zon dan kom je een factor 6.8 te hoog uit (vergelijking (20)). Wanneer je de berekening doet voor een niet-homogene Zon en gebruik maakt van het NASA-polynoom dan kom je een factor 4.3 te hoog uit (vergelijking (17)). De e-machten doen het veel beter, want de eerste komt 57% te hoog uit (vergelijking (18)) en de tweede 41% te laag (vergelijking (19)). Ik heb de resultaten bij elkaar gezet op een getallenlijn.
Een interessante exercitie!