Elektriciteit en magnetisme, vraagstuk 14

Een elektron bevindt zich boven en op de as van een positief geladen ring en wordt vervolgens losgelaten. Wat gaat er gebeuren? Welke beweging gaat het elektron maken? Met welke snelheid gaat het elektron door het midden van de ring? We verwaarlozen de zwaartekracht en de energie die het elektron gaat uitstralen.
Ik heb een ring waar een positieve elektrische lading Q op zit. Mijn z-as kies ik zo dat die precies door het midden van de ring gaat en de oorsprong leg ik in het midden van de ring. De straal van de ring is R. Ik heb een plaatje gemaakt van de situatie:
Het elektrische veld van de ring is:
Ik ga de potentiaalfunctie bepalen van de ring en dat doe ik door het veld te integreren naar z:
Het elektron is negatief geladen en de ring is positief geladen, dus het elektron wordt aangetrokken door de ring. En om redenen van symmetrie zal het elektron op de as van de ring blijven (in de praktijk bereik je natuurlijk nooit een dergelijke ideale situatie, maar daar gaat het nu niet om). Het elektron bevindt zich eerst op een hoogte z = z0 (in rust) en we zijn geïnteresseerd in het moment dat het elektron door het vlak van de ring gaat (waar z = 0). Het elektron doorloopt hierbij het volgende potentiaalverschil:
Daarbij zet het elektron de volgende energie om:
Hierbij verandert potentiële energie in kinetische energie:
En zo vinden we de snelheid van het elektron op het moment dat hij door het vlak van de ring gaat. Eenmaal aan de andere kant van de ring zal zijn snelheid afnemen (want hij wordt aangetrokken door de positieve lading op de ring) en zijn snelheid zal gaan afnemen. Op enig moment wordt zijn snelheid nul en keert het elektron om en begint alles weer van voren af aan. Oftewel, het elektron gaat een trillingsbeweging uitvoeren. Kunnen we daar iets meer over zeggen? Door de ring wordt de volgende kracht uitgeoefend op het elektron (met een minteken, want het negatieve elektron wordt aangetrokken door de positieve ring):
Krachten leiden tot versnellingen (m is de massa van het elektron):
Voor de versnelling geldt tevens:
De vergelijkingen (7) en (8) kan ik aan elkaar gelijk stellen:
Een tweede orde differentiaalvergelijking! Laat ik eens veronderstellen dat het elektron een harmonische trilling gaat uitvoeren:
Hiervan ga ik de eerste - en tweede afgeleide bepalen:

Dit substitueer ik in vergelijking (9):
En zo vind ik de frequentie waarmee het elektron op en neer gaat dansen. De eerste afgeleide die ik net bepaald heb, vergelijking (11) is de snelheid van het elektron:
Combineren met de vorige vergelijking levert op:
De snelheid van het elektron op het moment dat hij door het vlak van de ring gaat is (de sinus is dan maximaal en z = 0):
Ik stel:


Hiermee worden de vergelijkingen (5) en (16):

Deze twee vergelijkingen zijn verschillend! Wat gaat er mis? Bij vergelijking (13) hadden eigenlijk al de alarmbellen moeten gaan rinkelen, want ω is helemaal geen constante (zoals bij een harmonische trilling het geval is), maar afhankelijk van z. Mijn veronderstelling dat het elektron harmonisch trilt (vergelijking (10)) is onjuist. De tweede orde differentiaalvergelijking is correct, maar dit is niet de representatie van een harmonische trilling. Tenzij ik de amplitude van de trilling klein maak (lees: z0 << R): De vergelijkingen (20) en (21) worden dan:

Dit is op zich goed nieuws, voor kleine waarden van z0 (ten opzichte van R) zijn de vergelijkingen (20) en (21) gelijk aan elkaar (en is de trilling harmonisch, want ω wordt een constante). Ik zal eens even een plaatje maken van de versnelling a:

De grafiek van a (z) voor R = 0.2 (de rode lijn),
R = 0.4 (de groene lijn) en R = 0.8 (de blauwe lijn), β = 1
Dit ziet er inderdaad niet heel harmonisch uit. In het bovenstaande plaatje is R relatief klein, laat ik die eens wat groter kiezen:

De grafiek van a (z) voor R = 2 (de rode lijn),
R = 3 (de groene lijn) en R = 4 (de blauwe lijn), β = 1
Dit ziet er al beter uit, ik kies R nog groter:

De grafiek van a (z) voor R = 10 (de rode lijn),
R = 11 (de groene lijn) en R = 12 (de blauwe lijn), β = 1
Dit ziet er nagenoeg uit als rechte lijnen. Voor kleine waarden van z0 ten opzichte van R is de trilling inderdaad harmonisch.