Elektriciteit en magnetisme, vraagstuk 13

Bereken het elektrische veld op de as van een geladen ring.
Ik heb een ring waar een elektrische lading Q op zit. Mijn x-as kies ik zo dat die precies door het midden van de ring gaat en de oorsprong leg ik in het midden van de ring. Vervolgens ga ik bepalen wat het elektrische veld is in een punt P ergens op die x-as. Daarvoor beschouw ik eerst een infinitesimaal stukje dl van de ring. Ik heb een plaatje gemaakt van de situatie:
Voor de ladingsdichtheid van de ring geldt:
Het infinitesimale beetje lading op het stukje dl is dan:

Dit beetje lading veroorzaakt een elektrisch veld in het punt P volgens de wet van De Coulomb:

Dit veld is gericht langs r en kent een x-component en een y-component, zie het plaatje hieronder:
De y-component daar ben ik niet in geïnteresseerd, want om symmetrieredenen is nu al wel in te zien dat de y-component van het veld in het punt P uiteindelijk als gevolg van de gehele ring nul zal zijn. Daarom richt ik mij alleen op de x-component en komt er bij vergelijking (3) de cosinus van α bij in:
En die cosinus van α ga ik schrijven als een functie van r en x:
En omdat voor r geldt:
Hiermee wordt vergelijking (5):
En de laatste stap is om dit te integreren over de totale omtrek van de ring:
Tenslotte wil ik die λ er weer uitwerken:
Merk op dat indien het punt P zich ‘heel ver weg’ bevindt dat vergelijking (9) dan overgaat in de wet van De Coulomb, omdat van veraf de ring eruit ziet als een puntlading: