Vectoren, vraagstuk 98

Gegeven deze situatie.
Bereken van alle vectoren de covariante componenten, de contravariante componenten, het inwendig product en de norm in zowel het groene - als het rode stelsel. De componenten van de vectoren in het groene stelsel zijn ex = (1, 0), ey = (0, 1), ex = (1, 0.5), ey = (0.25, 1) en v = (0.5, 0.5).
Contravariante componenten bepaal ik door een bepaald veelvoud van de basisvectoren af te meten en kop aan staart te leggen. Hieronder staan die constructies voor de vijf vectoren in het groene stelsel (dus ik meet af in groene basisvectoren):




Het groene stelsel is volledig Cartesisch (de assen staan loodrecht op elkaar en de basisvectoren zijn eenheidsvectoren) en dat betetekent dat er voor de vectoren geen verschil bestaat tussen covariante componenten en contravariante componenten:
De componenten van de vectoren in het groene stelsel zijn allemaal gegeven. Het inwendig product van iedere vector met zichzelf is:
De norm (= grootte = lengte) van de vector is de wortel van het inwendig product:

Hetgeen in een Cartesisch stelsel overeenkomt met de stelling van Pythagoras:

Wat eenvoudig rekenwerk brengt mij bij dit overzicht:
Het groene stelsel
Vector Covariante
componenten
Contravariante
componenten
Inwendig product
(met zichzelf)
Norm
x y x y
Basisvectoren ex 1 0 1 0 1 ∙ 1
+ 0 ∙ 0 = 1
√1 = 1
ey 0 1 0 1 0 ∙ 0
+ 1 ∙ 1 = 1
√1 = 1
Overige
vectoren
ex 1 0.5 1 0.5 1 ∙ 1
+ 0.5 ∙ 0.5 = 1.25
√1.25 = 1.118034
ey 0.25 1 0.25 1 0.25 ∙ 0.25
+ 1 ∙ 1 = 1.0625
√1.0625 = 1.030776
v 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ∙ 0.5
+ 0.5 ∙ 0.5 = 0.5
√0.5 = 0.707107
De contravariante componenten in het rode stelsel bepaal ik op dezelfde manier als voorheen in het groene stelsel. Hieronder staan die constructies voor de vijf vectoren in het rode stelsel (dus ik meet nu af in rode basisvectoren):




Dat levert dit overzicht op:
Het rode stelsel
Vector Covariante
componenten
Contravariante
componenten
Inwendig product
(met zichzelf)
Norm
x y x y
Basisvectoren ex 1 0
ey 0 1
Overige
vectoren
ex 1.142857 −0.571429
ey −0.285714 1.142857
v 0.428571 0.285714
De grote vraag is nu natuurlijk: hoe kom ik aan de rode covariante vectorcomponenten? Daarvoor stel ik eerst een transformatiematrix samen die de vertaalslag maakt van de groene contravariante componenten naar de rode contravariante componenten:
Wanneer ik deze transformatiematrix loslaat op de groene contravariante componenten dan volgen daaruit de rode contravariante componenten:
De inverse transformatiematrix is:
Het is een open deur, ik weet het, maar wanneer ik deze inverse transformatiematrix loslaat op de rode contravariante componenten dan krijg ik de groene contravariante componenten weer terug:
Nu ga ik een nieuwe matrix U maken door de transformatiematrix T te transponeren en vervolgens te inverteren. Op die manier verkrijg ik een transformatiematrix die covariante vectorcomponenten omzet (voor de afleiding waarom dit zo is zie deze pagina):
De logische volgende stap is dan natuurlijk om hiermee de groene covariante componenten om te zetten naar rode:
De inverse matrix van U is:
Hetgeen leidt naar de volgende open deur, want hiermee kan ik de rode covariante componenten weer omzetten naar groene covariante componenten:
Nu kan ik het vorige overzicht compleet maken en ik zet de groene tabel er onder ter vergelijking:
Het rode stelsel
Vector Covariante
componenten
Contravariante
componenten
Inwendig product
(met zichzelf)
Norm
x y x y
Basisvectoren ex 1.25 0.75 1 0 1.25 ∙ 1
+ 0.75 ∙ 0 = 1.25
√1.25 = 1.118034
ey 0.75 1.0625 0 1 0.75 ∙ 0
+ 1.0625 ∙ 1 = 1.0625
√ = 1.030776
Overige
vectoren
ex 1 0.25 1.142857 −0.571429 1 ∙ 1.142857
+ 0.25 ∙ (−0.571429) = 1
√1 = 1
ey 0.5 1 −0.285714 1.142857 0.5 ∙ (−0.285714)
+ 1 ∙ 1.142857 = 1
√1 = 1
v 0.75 0.625 0.428571 0.285714 0.75 ∙ 0.428571
+ 0.625 ∙ 0.285714 = 0.5
√0.5 = 0.707107
Het groene stelsel
Vector Covariante
componenten
Contravariante
componenten
Inwendig product
(met zichzelf)
Norm
x y x y
Basisvectoren ex 1 0 1 0 1 ∙ 1
+ 0 ∙ 0 = 1
√1 = 1
ey 0 1 0 1 0 ∙ 0
+ 1 ∙ 1 = 1
√1 = 1
Overige
vectoren
ex 1 0.5 1 0.5 1 ∙ 1
+ 0.5 ∙ 0.5 = 1.25
√1.25 = 1.118034
ey 0.25 1 0.25 1 0.25 ∙ 0.25
+ 1 ∙ 1 = 1.0625
√1.0625 = 1.030776
v 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ∙ 0.5
+ 0.5 ∙ 0.5 = 0.5
√0.5 = 0.707107
Dit laat zien dat het inwendig product invariant is en daarmee ook de norm van een vector. Merk ook op dat de rode basisvectoren geen eenheidsvectoren zijn, terwijl dat er op het eerste gezicht wel zo uitziet want de contravariante componenten zijn (1, 0) respectievelijk (0, 1).

Ik zet de verschillende transformatiematrices die de revue gepasseerd zijn even bij elkaar:
Contravariant groen naar contravariant rood:
Covariant groen naar covariant rood:
Contravariant rood naar contravariant groen:
Covariant rood naar covariant groen:
Merk op dat je deze vier matrices allemaal direct op kunt schrijven door de contravariante componenten van de basisvectoren, geschreven als kolomvector of rijvector, op de juiste manier in de matrix te plaatsen:
Contravariant groen naar contravariant rood:
Covariant groen naar covariant rood:
Contravariant rood naar contravariant groen:
Covariant rood naar covariant groen:
Voor contravariante transformatie schrijf je de basisvectoren als kolomvectoren naast elkaar en voor covariante transformatie schrijf je de basisvectoren als rijvectoren onder elkaar. In de tabel hierboven zijn de matrices per kolom elkaars inverse, per diagonaal elkaars getransponeerde en per rij elkaars inverse én getransponeerde. En wanneer je één matrix van dit viertal te pakken hebt dan volgt de rest vanzelf, want er geldt immers:

Kortom, wanneer je al direct één set basisvectoren kunt schrijven als functie van de andere basisvectoren dan ben je vlot klaar.

En er is nog iets belangrijks dat ik onder je aandacht wil brengen. Ik heb op deze pagina alle covariante vectoren als kolomvectoren geschreven, maar wanneer ik supernetjes wil zijn dan moet dat eigenlijk als rijvector. Een rijvector met een matrix vermenigvuldigen geeft het volgende resultaat:
Dit geeft hetzelfde resultaat als de getransponeerde matrix (b en c wisselen van plaats) vermenigvuldigen met een kolomvector:
Een kolomvector is een getransponeerde rijvector en vice versa. Met andere woorden, indien ik een covariante vector als kolomvector schrijf dan heb ik stiekem getransponeerd en moet ik dat ook doen met de transformatiematrix (en dat heb ik dus ook gedaan). Wanneer ik de covariante vectoren als rijvectoren schrijf dan wordt de bovenstaande overzichtstabel als volgt:
Contravariant groen naar contravariant rood:
Covariant groen naar covariant rood:
Contravariant rood naar contravariant groen:
Covariant rood naar covariant groen: